Однако в одном существенном моменте математические исследования отличаются от сражения. Любая территория, которую вам однажды удалось оккупировать, остается вашей навсегда, и после этого вы можете сосредоточить усилия на чем-то ином. Но доказанная теорема никуда не исчезает. И именно благодаря этому математики достигают прогресса в решении задачи, даже если дойти до конца им не удается. Однажды установленный факт становится доступен всем, и воспользоваться им может кто угодно и совершенно в любом контексте. Нередко отправной точкой новой атаки на древнюю как мир проблему становится незамеченное ранее сокровище, затерявшееся в целой куче разнообразных фактов. И это одна из причин, по которым любые новые математические расчеты ценны сами по себе, даже если польза от них не видна сразу. Это еще один кусок завоеванной территории, еще одно оружие в арсенале. Возможно, его время еще придет — но этого не случится, если его посчитают «бесполезным» и забудут или просто не дадут увидеть свет, потому что не поймут, какой в нем смысл.

Некоторые великие задачи встречаются и в начальном курсе математики, хотя мы этого не замечаем. Вскоре после того, как ребенок осваивает умножение, он знакомится с концепцией простого числа. Известно, что некоторые числа могут быть получены при перемножении двух меньших чисел, к примеру: 6 = 2 × 3. Другие, такие как 5, невозможно разложить подобным образом на сомножители. Максимум, что можно сделать, это записать 5 = 1 × 5, но в этом выражении нет двух меньших чисел. Числа, которые можно разбить на сомножители, называют составными, а те, что разложить невозможно, — простыми. Простые числа кажутся такой несложной темой! Если вы уже умеете перемножать натуральные числа, то способны разобраться и в том, что представляет собой простое число. Простые числа — первичные строительные кирпичики для всех натуральных чисел, и обнаружить их можно в самых разных разделах математики. Но в них есть тайна, и, на первый взгляд, они раскиданы среди положительных целых чисел почти случайным образом. Нет никаких сомнений: простые числа — настоящая загадка. Возможно, это естественное следствие их определения — ведь определяются они не через какое-либо присущее им свойство, а напротив — через свойство, которое у них отсутствует. С другой стороны, для математики это фундаментальное понятие, поэтому мы не можем просто так в ужасе поднять руки и сдаться. Нам необходимо с ними освоиться и каким-то образом вызнать их потаенные секреты.

Некоторые свойства простых чисел очевидны. За исключением самого маленького из них, двойки, все они нечетные. Сумма цифр простого числа, за исключением тройки, не может быть кратна трем. Они, за исключением пятерки, не могут заканчиваться на цифру 5. Если же число не подпадает под эти правила — и под несколько других, более тонких, — то невозможно посмотреть на него и сразу сказать, простое это число или нет. Да, существуют формулы для простых чисел, но это в значительной степени обман. Эти формулы не дают никакой полезной новой информации о простых числах; это просто хитрый способ зашифровать определение «простоты» в виде формулы. Простые числа — как люди: каждое из них — личность, и они не подчиняются общим правилам.

За тысячелетия математики сумели постепенно расширить свои знания о простых числах. Время от времени и сегодня решаются новые серьезные проблемы, с ними связанные. Однако многие вопросы по-прежнему остаются нерешенными. Некоторые из них фундаментальны и легко формулируются, другие понятны немногим. В этой главе говорится о том, что мы знаем и чего не знаем об этих раздражающих своей неприступностью, но все же фундаментальных числах. Начинается она с установления некоторых базовых понятий: в частности, концепции разложения на простые множители — как представить заданное число в виде произведения простых чисел. Даже этот знакомый процесс заводит нас на глубину сразу же, как только мы начинаем задавать вопросы о по-настоящему эффективных методах поиска простых множителей конкретного числа. Как ни удивительно, определить, является ли данное число простым, относительно несложно, но если число составное, то отыскать его простые множители часто намного труднее.

Разобравшись в основах, перейдем к самой известной из нерешенных задач, связанных с простыми числами, — к проблеме Гольдбаха, которой уже 250 лет. В последнее время в работе над ней достигнут колоссальный прогресс, но полностью она пока не решена. А несколько других задач представят нам примеры того, что еще предстоит сделать в этой важной, но трудно поддающейся исследованию области математики.

Простые числа и разложение на множители знакомы нам из школьного курса арифметики, однако большинство интересных свойств простых чисел на этом уровне не рассматривают и никаких доказательств не представляют. Тому есть веские причины: доказательства даже самых очевидных, на первый взгляд, свойств удивительно сложны. Вместо этого школьников учат некоторым простым методикам работы с простыми числами, акцентируя внимание на вычислениях, где цифры относительно невелики. В результате наши первые впечатления от встречи с простыми числами, как правило, обманчивы.

Древние греки были знакомы с некоторыми базовыми свойствами простых чисел и знали, как их доказать. Простые числа и сомножители — основная тема Книги VII евклидовых «Начал», классического труда, посвященного геометрии. В этой книге имеется, в частности, геометрическое представление арифметических действий — деления и умножения. Греки предпочитали работать не с числами как таковыми, а с длинами линий (отрезков), но их результаты несложно переформулировать на языке чисел. Так, Предложение 16 Книги VII доказывает, что при перемножении двух чисел результат не зависит от того, в каком порядке берутся эти числа. Иными словами, ab = ba, фундаментальный закон алгебры.

В школьной арифметике простые делители используют для поиска наибольшего общего делителя двух чисел. К примеру, чтобы найти наибольший общий делитель чисел 135 и 630, мы раскладываем их на простые множители:

Затем берем все простые числа, которые присутствуют в обоих разложениях, в наибольшей общей степени; получаем 32 × 5. Перемножаем, получаем 45. Это и есть наибольший общий делитель. Из этой процедуры создается впечатление, что без разложения на простые множители невозможно найти наибольший общий делитель. На самом деле с точки зрения логики все наоборот. Предложение 2 Книги VII «Начал» представляет метод поиска наибольшего общего делителя двух натуральных чисел без разложения их на простые множители. Метод состоит в последовательном вычитании меньшего числа из большего, а затем остатка из меньшего числа и т. д. до тех пор, пока есть остаток. Для тех же чисел 135 и 630 — это достаточно типичный случай для небольших чисел — процесс выглядит так. Вычитаем 135 из 630 столько раз, сколько сможем:

630 − 135 = 495;