что скорость движения тела в четырехмерном пространстве действительно определена для случая движения по временной координате. Нами просто принято условие, удобное для определения длины единичного отрезка четвертой координаты без определения независимого параметра – времени для такой системы координат. А то, что время собственное не является независимым временем четырехмерной системы координат прямо вытекает из того, что при его использовании невозможно определить состояние покоя, то есть отсутствие движения по каждой из координатных осей этого четырехмерного пространства. Но введение понятия об инвариантном интервале позволяет рассматривать время собственное в качестве параметра, независимость которого исключается именно введением указанного интервала. Данные обстоятельства приводят к тому, что задача определения функции Лагранжа для движения механических систем в четырехмерном пространстве в конечном итоге может быть сведена к задаче нахождения этой функции для трехмерного пространства с независимым временем. Это прямо вытекает из условия равенства при состоянии покоя в лабораторной системе координат времени собственного и времени координатного, которое является независимым временем трехмерной системы координат, а также взаимозависимости координатных времен в различных системах отсчета. При этом то, что это независимое для трехмерного пространства время является параметром, определяющим одну из координат четырехмерного пространства и совпадающим в одном из случаев с временем собственным, должно учитываться при нахождении функции Лагранжа для трехмерного пространства.

В физической литературе описано множество попыток определить функцию Лагранжа механического движения применительно к лоренц-инвариантному интервалу, в соответствии с которыми функция Лагранжа может иметь вид

, либо независимо от размерности систем координат. Оба эти выражения находятся в явном противоречии с определением кинетической энергии (см. [7], с.16, 18, 26), величина которой для свободно движущегося тела должна совпадать с функцией Лагранжа. Подчеркнем, что кинетическая энергия тела определяется в специальной теории относительности как , то есть существует полная несовместимость определения релятивистской функции Лагранжа с ее сущностным содержанием.

Кроме того, в специальной теории относительности делается ничем не обоснованное исключение из теории, требующей определения кинетической энергии свободно движущегося тела через интеграл его движения, а сама кинетическая энергия определяется по особым правилам, основанным на существовании лоренц-инвариантного соотношения для энергии и импульса (инвариантная масса):

Совершенно очевидно, что при таком определении кинетической энергии ни функция Лагранжа, ни выражение для интеграла движения не используются. Однако одновременно с полным отказом от принципов классической физики делается попытка представить дело так, как будто никакого отказа от этих принципов нет.

Попробуем все же рассмотреть данный вопрос без отказа от принципов классической теории.

Прежде всего, следует отметить, что определение функции Лагранжа является обязательным результатом решения задачи об особенностях наблюдения за движущимся телом при условии конечности скорости света. В классической механике принято считать функцию Лагранжа равной разности кинетической и потенциальных энергий, а полную энергию механической системы – сумме этих энергий. В связи с этим функция Лагранжа при отсутствии внешнего потенциального поля может быть только положительной величиной. Данное условие необходимо сохранить и при определении функции Лагранжа для четырехмерного пространства. С учетом указанных обстоятельств, а также замечаний относительно независимого времени четырехмерного пространства систему уравнений Эйлера-Лагранжа для свободной материальной точки можно записать в виде

. Здесь и далее использовано обозначение . Функция Лагранжа свободно движущегося тела не зависит в явном виде ни от радиус-вектора, ни от времени. Кроме того, функция Лагранжа не может зависеть также от направления вектора скорости и является функцией его абсолютной величины, то есть должна быть функцией от квадрата скорости движения тела . Для четырехмерной системы координат, ориентированной таким образом, чтобы движение тела определялось только изменением времени, (будем назвать ее «движущейся») можно определить функцию Лагранжа в виде: , что, с учетом постоянства скорости света, позволяет обеспечить соблюдение требования о равномерности данного движения. Коэффициент пропорциональности в виде единицы выбран, исходя из соображений перехода уравнений релятивистской динамики в динамику Ньютона, что будет видно из дальнейшего.

При определении функции Лагранжа в четырехмерных системах координат, не связанных с условием движения тела только по временной координате, необходимо учесть, что в них по сравнению с системой, где движение тела происходит только по временной координате, используются иные величины пространственных координат

и для одного и того же инвариантного интервала. И движение тела, принадлежащего системе координат , наблюдается в лабораторной системе , в которой наблюдатель считает себя неподвижным, а тело движущимся не только по временной координате. При этом различие координатных сеток заключается в единицах измерения для при наличии условия связи между ними , позволяющего сравнивать эти сетки. Применительно к системе уравнений Эйлера-Лагранжа это означает, что , (так как , а ), а коэффициент определяет отношение измеренных с помощью одной и той же единицы длины размеров одной из сторон аналогичных ячеек в координатных сетках (их сравнительный масштаб). В то же время описание разных способов движения тела осуществляется сторонним наблюдателем с помощью единственно доступного ему метрического эталона (одинаковых ячеек). И ему вовсе необязательно использовать две различные системы отсчета, поскольку он видит движение тела только по своей координатной сетке, но не связанную с движущимся телом сетку. А так как наблюдатель не видит другую систему отсчета и руководствуется своими размерами ячеек, то эффект, определяемый различием масштабов сравниваемых систем координат, является для него целиком и полностью следствием различий в определении функции Лагранжа. В этом случае необходимой для учета разных способов описания движения тела процедурой замены переменных в системе уравнений Эйлера-Лагранжа является замена функции Лагранжа системы отсчета, где тело движется только по временной координате, на ее «масштабированное» выражение лабораторной системы координат при использовании (сохранении) единственно доступных наблюдателю независимых