Если мы изменим еще пару аспектов классической «проблемы секретаря», это перенесет нас из области знакомств и свиданий в сферу недвижимости. Ранее мы уже рассматривали процесс поиска съемной квартиры в качестве проблемы оптимальной остановки, но владение домом также не испытывает недостатка в оптимальной остановке.

Допустим, вы продаете дом. После консультаций с несколькими агентами по недвижимости вы выставляете его на продажу, освежаете слой краски на стенах, приводите в порядок лужайку и начинаете ждать предложений. Получив очередное предложение о покупке, вы, как правило, должны решить, принять ли его или отклонить. Но за отклоненные предложения приходится в итоге расплачиваться – еще одним еженедельным (или ежемесячным) платежом по ипотеке, пока вы ожидаете следующего предложения, вовсе не будучи уверенными в том, что оно будет выгоднее предыдущего.

Продажа дома похожа на игру с полной информацией. Мы знаем объективную долларовую стоимость всех предложений, которая позволяет нам не просто определить, какие из них выгоднее, но и понять, насколько они выгоднее. Более того, у нас есть довольно обширные сведения о состоянии рынка, что позволяет нам хотя бы приблизительно спрогнозировать диапазон цен в ожидаемых предложениях. (Это дает нам такую же информацию о перцентилях каждого предложения, какую мы рассматривали в примере с тестом на скорость печатания.) Однако наша цель уже не в том, чтобы выбрать наилучшее предложение, но в том, чтобы выручить как можно больше денег в рамках всей процедуры продажи в целом. Учитывая, что каждый день ожидания измеряется в долларах, есть смысл принять хорошее предложение прямо сейчас, а не ждать чуть более выгодного еще несколько месяцев.

Располагая данной информацией, мы можем не назначать примерный ценовой диапазон. Вместо этого мы установим четкий порог, будем игнорировать все, что ниже его, и примем то предложение, которое его превысит. Правда, если мы стеснены в средствах и они закончатся, если мы не продадим дом за определенный срок либо мы ожидаем получить весьма ограниченное число предложений и не особо заинтересованы в результате, то нам стоит снизить планку, так как подобный подход ограничивает. (Вот почему покупатели обычно ищут «мотивированных» продавцов домов.) Но если проблемы не загоняют нас в угол, мы можем просто сосредоточиться на анализе затрат и выгод игры в ожидание.

Сейчас мы разберем один из простейших случаев: мы точно знаем ценовой диапазон ожидаемых предложений, и все предложения в данном диапазоне равновероятны. Если нам нет нужды волноваться о том, что предложения (или наши сбережения) подойдут к концу, то мы можем сосредоточиться исключительно на расчетах, что мы приобретем или потеряем, если будем ждать более выгодной сделки. Если мы отклоним нынешнее предложение, то сможет ли вероятность более выгодного предложения, умноженная на ожидаемую нами разницу в выгоде, компенсировать связанные с ожиданием расходы? Как выясняется, математика здесь довольно проста, и мы видим прямую зависимость стоп-цены от цены ожидания следующего предложения.

Этот математический расчет не будет волновать нас, если мы продаем многомиллионный особняк или полуразвалившийся сарай. В этом случае будет иметь значение только небольшая разница между самой низкой и самой высокой ценой, которую нам, вероятно, предложат. Если мы введем конкретные цифры, то увидим, что данный алгоритм предлагает нам множество четких указаний. Допустим, ценовой диапазон ожидаемых нами предложений варьируется от $400 000 до $500 000. Если цена ожидания незначительна, мы можем быть почти бесконечно разборчивы. Если цена ожидания следующего предложения составляет всего $1, то мы получим максимальную выгоду, всего лишь дождавшись покупателя, который предложит нам за дом $499 572,99 и ни центом меньше. Если ожидание обойдется нам в $2000 за предложение, придется дотянуть до $480 000. В условиях медленного роста рынка, где ожидание будет стоить $10 000, нам придется принять любое предложение, которое превысит $455 279. Ну и наконец, если цена ожидания составит половину или даже больше от ожидаемого нами диапазона предложений (в данном примере это $50 000), то нет абсолютно никакого смысла тянуть дальше и нужно приложить максимум усилий, чтобы продать дом первому, кто назовет свою цену, и покончить с этим. Нищим выбирать не приходится.

В данном примере важно отметить, что устанавливаемый нами предел зависит только лишь от стоимости поисков. Поскольку вероятность того, что следующее предложение окажется лучше предыдущего (а также стоимость выяснения этого) никогда не изменится, то нам нет смысла снижать стоп-цену, так как поиски продолжаются и не зависят от нашей удачливости. Мы устанавливаем ее однажды, прежде чем выставить дом на продажу, и в дальнейшем ориентируемся на нее.

Специалист по оптимизации Висконсинского университета в Мэдисоне Лора Альберт Маклей воспользовалась своими знаниями проблем оптимальной остановки, когда пришло время продавать ее собственный дом. «Первое же полученное нами предложение было замечательным, – рассказывает она, – но оно предполагало огромные затраты с нашей стороны, потому что покупатели просили нас съехать на месяц раньше, чем мы были к этому готовы. Было еще одно конкурентоспособное предложение… [но] мы держались, пока не получили подходящее нам». Многих продавцов необходимость отклонить парочку выгодных предложений весьма нервирует, особенно если последующие предложения уступают им в выгоде. Но Маклей твердо стояла на своем и сохраняла спокойствие. «Это было бы очень, очень тяжело, – признается она, – если бы я не знала, что математика на моей стороне».

Данный принцип применим к любой ситуации, где вам предстоит получить ряд предложений и заплатить за то, чтобы искать дальше или ждать следующего. Следовательно, это относится к случаям, которые выходят далеко за рамки продажи недвижимости. Например, экономисты, пользуясь этим алгоритмом, моделируют процесс поиска людьми работы и наглядно объясняют кажущийся на первый взгляд парадоксальным факт одновременного существования на рынке вакансий и безработных.

На самом деле, у этих вариаций проблемы оптимальной остановки есть еще одно поистине удивительное свойство. Как мы помним, возможность вернуть упущенный в прошлом шанс была жизненно важной в любовных поисках Кеплера. Но в случае с продажей дома или поисками работы вам никогда, ни в коем случае не следует так поступать, даже если есть возможность вернуться вновь к ранее отклоненному предложению и даже если это предложение все еще не утратило своей актуальности. Если оно не превышало ваш пороговый показатель на тот момент, оно не превысит его и сейчас. То, что вы заплатили за возможность продолжить поиски, – это невозвратные издержки. Не идите на уступки, не жалейте ни о чем. И никогда не оглядывайтесь.