Вообще говоря, картинки типа «отсюда» на плоскости аргумента — предпочтительное средство для понимания того, что такое функция во всем охвате ее свойств (например, где расположены ее нули). Картинки «сюда» на плоскости значений полезнее всего для изучения конкретных аспектов или любопытных особенностей функции.[116]

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на критической прямой — прямой, составленной из комплексных чисел с вещественной частью одна вторая. Все нетривиальные нули, изображенные в этой главе, действительно лежат на этой прямой, что видно из рисунка 13.6, 13.7 и 13.8. Конечно, это ничего не доказывает. У дзета-функции бесконечное число нетривиальных нулей, и никакой рисунок не позволит изобразить их все. Откуда нам знать, что триллионный нуль, или триллион триллионный, или же триллион триллион триллион триллион триллион триллионный лежит на критической прямой? Этого мы не знаем — во всяком случае, не можем заключить из картинок. А какое отношение все это имеет к простым числам? Чтобы ответить на этот вопрос, нам надо повернуть Золотой Ключ.

I.

Геттинген, конечно, был не единственным местом на земле, где в первые годы XX века создавалась первоклассная математика. Взглянем на английского математика Джона Идензора Литлвуда за шестьдесят с чем-то лет до того, как он предлагал «понюхать пороху» Хью Монтгомери. В 1907 году, будучи молодым математиком в Тринити-колледже в Кембридже, Литлвуд был занят поиском содержательной задачи, из которой удалось бы вырвать хороший «кусок мяса» для диссертации.

Это отрывок из «Математической смеси» Литлвуда — причудливого собрания мемуарных фрагментов, шуток и математических головоломок, впервые опубликованного в 1953 году.[119] Кроме самого Литлвуда, действующие лица в приведенном отрывке — это английский математик Годфри Хэролд Харди (1877-1947) и немец Эдмунд Ландау (1877-1938). Эти трое — Ландау, Харди, Литлвуд — через полпоколения после Гильберта были пионерами в ранних попытках одолеть Гипотезу Римана.

II.

Британская математика в XIX столетии демонстрировала странную асимметрию в своем развитии и достижениях. Британские ученые добились значительных успехов в наименее абстрактных областях математики — тех, которые ближе всего связаны с физикой. Такое наблюдение — результат моего высшего математического образования, полученного в Лондоне. Когда у нас были занятия по вещественному анализу, теории функций комплексной переменной, теории чисел и алгебре, фамилии ученых в названиях теорем сыпались на нас с той стороны Ла-Манша: Коши, Адамар, Якоби, Чебышев, Риман, Эрмит, Банах, Гильберт… А потом мы шли на лекции по ММФ (т.е. по методам математической физики) и внезапно снова оказывались на Британских островах викторианской эпохи: теорема Грина (1828), формула Стокса (1842), число Рейнольдса (1883), уравнения Максвелла (1855), оператор Гамильтона (1834)…

Кроме того, заметной активностью отличались британские ученые, занятые в наиболее абстрактных областях математики: Артур Кэли и Дж. Дж. Сильвестр изобрели матрицы (о них мы еще поговорим ниже) и теорию алгебраических инвариантов. Джордж Буль открыл целый новый материк «оснований» — математической логики, которую он называл «законами мышления». (Можно поспорить по поводу того, действительно ли этот предмет находится так уж далеко по шкале абстракции; сам Буль заявлял, что его намерением было сделать логику частью прикладной математики. Однако мне кажется, что математическая логика достаточно абстрактна для большинства из нас, простых смертных.) Любопытно отметить, что за неделю до того, как Гильберт выступил на Парижском конгрессе, тот же актовый зал Сорбонны был зарезервирован для Международного философского конгресса. Один из прочитанных там докладов назывался «Представления о порядке и абсолютном положении в пространстве и времени». Докладчиком был молодой английский логик, также из Тринити-колледжа, по имени Бертран Рассел, который спустя 10 лет вместе с Элфредом Нортом Уайтхедом стал автором классического трактата по математической логике (точнее, логифицированной математике) — Principia Mathematica.