где R – доход; С – затраты; p – цена; q – количество; q(p) – функция «цена-отклик». Для максимизации прибыли дифференцируем функцию прибыльности и получим:

При оптимальной цене p* данная производная равна нулю. Это случай, когда маржинальный доход и маржинальные затраты (как функция цены) равны. Условие «маржинальный доход = маржинальные затраты» требует сбалансированного изменения дохода и затрат. Если цена ниже оптимального значения, затраты будут расти быстрее дохода. Напротив, если цены выше оптимальной, доход будет расти быстрее затрат. В любом случае прибыль будет ниже оптимальной цены p*.

Можно объяснить эффекты отклонения цены от оптимума с точки зрения удельной контрибуционной маржи и объема, которые двигаются в противоположных направлениях, как и изменения цены.

• Цена растет от оптимального значения.

Повышение цены относительно оптимального значения дает повышение удельной контрибуционной маржи. Процентный прирост удельной контрибуционной маржи, однако, ниже процентного снижения объемов продаж. Это вызывает чистый отрицательный эффект для прибыли.

• Цена снижается от оптимального значения.

Снижение цены от оптимального значения приводит к повышению объема продаж, однако процентный прирост объема меньше процентного снижения удельной контрибуционной маржи. Это также вызывает чистый отрицательный эффект для прибыли.

Условие (5.1) также предполагает, что на оптимальную цену влияют только маржинальные затраты. Оптимальная цена не зависит от постоянных затрат. Если мы берем производное от функции прибыльности, постоянные затраты исчезают из уравнения, поскольку являются константой. Любой метод ценообразования, предполагающий установление оптимальной цены как функции постоянных издержек, логически некорректен.

Можно воспользоваться значениями ценовой эластичности и вывести простую формулу оптимальной цены p* [из формулы (5.1)], так называемую формулу Аморозо – Робинсона[2]:

Таким образом, оптимальная цена – это основанная на эластичности надбавка к маржинальным затратам. Однако уравнение (5.2) не решает проблему установления оптимальной цены p*. Это, скорее, переформулирование необходимого условия «маржинальный доход = маржинальные затраты».

Ценовая эластичность и маржинальные затраты С’ сами по себе могут являться функцией цены. Чем выше ценовая эластичность (в абсолютных терминах), то есть чем чувствительнее спрос к ценовым изменениям, тем ниже оптимальная цена. Оптимальная цена всегда находится в диапазоне, для которого ценовая эластичность (в абсолютных терминах) больше 1.

Так как ценовая эластичность цены максимизации дохода равна –1, цена максимизации прибыли всегда выше цены максимизации дохода. Повышение цены увеличит прибыль, если ценовая эластичность меньше 1 в абсолютных терминах. Например, если повышение цены на 10 % дает снижение объемов на 5 %, ценовая эластичность равна –0,5. Значит, имеет смысл поднять цены.

5.4.3.2. Ценовая оптимизация для мультипликативной функции «цена-отклик»

Как нам известно из главы 3, функция «цена-отклик» имеет постоянную ценовую эластичность. Если маржинальные затраты также являются константой, то есть функция затрат линейная, можно использовать формулу (5.2) непосредственно как правило для ценовых решений. Если ценовая эластичность, например, имеет значение –2, оптимальный коэффициент надбавки равен 2. К маржинальным затратам добавляется значение 100 %. Если ценовая эластичность равна –3, коэффициент надбавки равен 1,5, что означает 50 %-ную надбавку к маржинальным затратам. Если ценовая эластичность равна –5, надбавка равна всего 25 %. Чем ближе ценовая эластичность к 1, тем выше коэффициент надбавки. При ценовой эластичности –1,2 надбавка равна 500 %.

5.4.3.3. Ценовая оптимизация для линейной функции «цена-отклик»

Для линейной функции «цена-отклик» и линейной функции затрат формула оптимальной цены выглядит так[3]:

Дробь a/b – это максимальная цена, то есть цена, при которой объем продаж равен нулю.

Оптимальная цена p* лежит точно посередине между переменными удельными затратами k и данной максимальной ценой. Чтобы определить оптимальную цену в случае линейности, нужно только знать переменные удельные затраты и максимальную цену.

Как следует из уравнения (5.3), рост затрат приведет к повышению цены на половину данного количества. Аналогичным образом всего половина снижения затрат перейдет клиентам. В действительности можно наблюдать, что компании не полностью отражают изменения затрат в ценах. Например, когда цены на молоко поднялись на 10 центов, ALDI переложила на потребителей только 7 центов [12]. Напротив, экономия затрат обычно напрямую переводится на клиентов, как указано на домашней странице ALDI Süd, одного из двух операционных подразделений компании [13]. (Другое подразделение, ALDI Nord, управляет сетью Trader Joe’s в США.)

В другом случае фирма клининга зданий переносит только 80 % повышения расходов на персонал на своих клиентов [14]. После падения цен на нефть CEO Ryanair Майкл О’Лири [15] заявил, что компания перенесет почти всю (но не всю) экономию на своих клиентов. «Почти всё» можно понимать так, что лишь часть экономии будет отражена в снижении цен на билеты – что ж, мудрый ход.

Теперь мы продемонстрируем ценовую оптимизацию линейных функций «цена-отклик» и затрат для модного бренда. Постоянные затраты составляют $2,95 млн. Переменные удельные затраты составляют $60. Функция «цена-отклик» выглядит так:

следовательно, максимальная цена pmax = 300 000/2000 = $150.

Итак, оптимальная цена:

Рис. 5.6 выражает эту функцию в графическом виде. Цена $105 лежит в точности посередине между переменными удельными затратами $60 и максимальной ценой $150.

Рис. 5.6. Определение оптимальной цены (линейные функции «цена-отклик» и затрат)

Общая контрибуционная маржа, то есть сумма удельной контрибуционной маржи и объема продаж, графически выглядит как треугольник. Кривая прибыльности описывает размер треугольника. Область треугольника (то есть общая контрибуционная маржа) достигает максимума, когда цена попадает в срединную точку между переменными удельными затратами и максимальной ценой. Объем продаж при этой цене равняется 90 000 единиц. Максимальная прибыль равна $1,1 млн. Чем больше отклонение от цены максимизации прибыли, тем сильнее снижение прибыли. Кривая прибыльности симметрична. Это означает, что отклонение цены вверх от оптимума оказывает на прибыль такое же воздействие, как и отклонение вниз той же величины.