Ещё одна непонятка, которую надо прояснить. Я приводил пример строительства супермаркета вместо фермы. Кто-то может подумать, что вот вы покупаете опцион, а потом думаете, что с ним делать. Ну, в некотором роде это так. Но по теории вы исполните опцион в любом случае — даже если вы не хотите ничего строить на этой земле, — достаточно того, что опцион будет «в деньгах». Пусть вы не хотите строить, ок, но если у вас куплен опцион на эту землю с ценой исполнения ниже текущей, надо немедленно исполнить опцион, купить эту землю у фермера и тут же продать её на рынке, заработав на разнице.

Поэтому считается, что, если опцион «в деньгах», в последний день мы всегда его исполняем. Ну, можно, конечно, и не исполнять, если фермер вам по какой-то причине нравится, я не знаю, борода у него привлекательная или ещё что.

Теперь о путах. Что такое пут «в деньгах» и «вне денег»? Тут всё тоже очень просто: если цена исполнения выше цены актива, то опцион будет «в деньгах» — то есть, с прибылью. А если акция стоит дороже, то право продать её по более низкой цене не особенно интересно.

Что занятно, так это то, что между путами и коллами есть заметный паттерн. Что, если я куплю один колл и продам один пут? Ну, то есть выпишу пут — это одно и то же, зашортить (продать, когда его нет) и выписать. Как тогда будет выглядеть мой портфель? Даты исполнения и цены возьмём, конечно, одинаковые. У нас один колл и минус один пут. Тогда цена моего портфеля будет равна цене акции за минусом цены исполнения. Мой портфель, кстати, в этом случае может быть и отрицательным — ведь я продал что-то (пут) без обеспечения.

Это подводит нас к паритету коллов и путов (речь о европейских опционах). Если колл минус пут — это то же самое, что цена акции минус цена исполнения, тогда их цены должны складываться. То есть в день исполнения цена акции = цена колла — цена пута + страйк.

Если же подумать о любой предшествующей дате, вы уже знаете заранее, что произойдёт в день исполнения. Поэтому картинка будет ровно та же самая, за исключением того, что цену исполнения нужно привести к сегодняшней. Ну и если компания будет выплачивать дивиденды между сегодняшним днём и датой исполнения, надо их добавить, ведь держатели опционов дивидендов не получают. Это называется колл-пут паритетом.

Теперь можно упростить пример с датой исполнения, ведь равенство верно во все даты. Потому что если бы оно нарушилось, возникла бы возможность арбитража, безрискового заработка. Вернёмся к нашему примеру из газеты. Что там у нас было: цена исполнения в 25 долларов, цена колла в 45 центов, цена пута 3.60. Выходит, что 25+0.45–3.60=21.85, как раз цена акции. Это если между текущей котировкой и датой исполнения не будет дивидендов.

Из-за этого паритета «Уолл-стрит Джоурнал» мог и не печатать цены и коллов, и путов, ведь одну можно получить из другой. Но они их печатали для удобства, а может быть, кто-то и пытался заработать на арбитраже между ними. Но в расчётах часто бывает, что считают только цены на коллы. Как только они есть, можно вычислить цены на путы через их соотношение.

Теперь давайте подумаем об оценке коллов. Мы точно можем узнать цену колла в день его исполнения — это всего лишь разница между страйком и ценой акции.

А на день раньше? Ну, во-первых, цена колла никогда не может быть отрицательной. Колл не может стоить меньше, чем цена акции за минусом страйка. Ещё она не может быть выше, чем цена самой акции, ведь всегда можно просто купить эту акцию безо всяких опционов. И чем ближе к дате исполнения, тем меньше будет разница между ценой опциона и разницей между акцией и страйком. В день исполнения они сравняются. Опцион станет вне денег. Потому что если акция стоит $21.85 и у меня опцион на её покупку по $25 (или 24, или 23, да даже и $21.85), мой опцион не стоит ровным счётом ничего.

Но если дата исполнения через месяц (как в нашем примере), то опцион таки немного стоит, ведь есть небольшой шанс, что цена акции поднимется выше $25. И сколько люди готовы заплатить за право иметь этот шанс? Немного, 45 центов. Почему так мало? Потому что $21.85 далековато от $25, а у опциона остался всего месяц. Какова вероятность того, что акция вырастет так сильно? Ну, она есть, но небольшая. Поэтому больше 45 центов за такой опцион не дадут.

Вот и причина того, что не надо исполнять американский опцион колл раньше срока. Ведь если вы его исполнили, его ценность падает до нуля. Но до даты исполнения он стоит всегда дороже. Поэтому если нужно вынуть деньги, его надо не исполнять, а продать.

Поэтому разница между европейскими и американскими опционами не так велика, как кажется на первый взгляд. Понятно, что американские коллы не надо исполнять слишком рано. Хотя могут быть ситуации, когда оптимально будет исполнить американский пут досрочно — но вам не надо об этом сейчас думать. Можно оценить европейские коллы, а из них посчитать, сколько будут стоить путы.

Поговорим о ценообразовании. Основная формула для оценки опционов — это уравнение Блэка — Шоулза. Но перед этим надо понять, как она вообще появилась.

Расскажу простую историю, чтобы вы интуитивно всё поняли. Чтобы максимально всё упростить, мы переедем в мир, где у акции есть всего две цены. Это будет биномиальный мир. Пусть у нас есть всего два варианта стоимости акции: дёшево и дорого, ок?

Теперь рассмотрим портфель из акции и опциона. Я куплю ровно столько акций, сколько продам (выпишу) коллов на неё. Если цена завтра сходит вверх, я потеряю разницу между ценой экспирации и спотом. Если вниз — я заработаю цену проданных опционов. Вроде всё ясно.

При этом я собрал портфель, у которого нулевой риск. Если у меня акций столько же, сколько я продал опционов, тогда никакого риска нет — по исполненным опционам я отдам контрагенту свои акции. Если у портфеля нет риска, то приносить он должен как раз безрисковую ставку доходности. Это всё равно что безрисковое вложение. Тогда можно подставить в уравнение всё, кроме цены колла, и найти её.

Это следствие того, что формула получается из безарбитражных условий. Арбитраж (в финансах) означает возможность заработать без риска. Например, продать акции Тинькова в Лондоне по 8 долларов, продать доллары по 60 рублей, и в тот же день купить те же акции в Москве по 470 рублей. Если у нас есть счета и там, и там, нам всё равно, где хранятся акции, и если такая возможность реально найдётся, с каждой акции мы получаем безрисковые 10 рублей (60*8–470), тогда как акции остаются у нас в портфеле. Арбитраж намекает на то, что нельзя заработать больше безрисковой ставки, не беря на себя риск.

Если бы это было возможно — представим, что безрисковая ставка у нас 5 %, а тут нашлась возможность заработать 6 % годовых, тогда я займу под 5 % и вложу всё в шестипроцентную тему. И я буду так делать до скончания веков. Это слишком жирная возможность обогатиться, чтоб её упускать. И один из самых мощных выводов теоретических финансов заключается в том, что ни одна возможность арбитража не держится сколь-нибудь долго.