В рамках своего онлайн-курса для учителей и родителей я поделилась со слушателями новой информацией об ошибках и поставила им интересную задачу: придумать игру, которая изменит отношение учеников к ошибкам в классе и дома. Одна учительница рассказала о своем методе: в самом начале урока она просит учеников смять лист бумаги и бросить его в сторону доски с тем чувством, которое они испытывают, когда делают ошибки в заданиях по математике. Ученики дают выход своим эмоциям (обычно разочарованию), швыряя смятые листы бумаги в доску. Затем учительница предлагает детям поднять листы, разровнять их и цветными маркерами разрисовать образовавшиеся на бумаге складки, которые олицетворяют рост их мозга. И затем хранить эти листы в своих папках весь учебный год как напоминание о важности ошибок.

Несколько лет назад я начала работать с Ким Холлиуэлл — великолепной учительницей, входящей в состав группы из объединенного школьного округа Виста, с которой я тесно сотрудничала на протяжении двух лет. В 2015 году я побывала в классе Ким и увидела, что все стены увешаны замечательными рисунками, на которых ученики изобразили свой мозг и написали позитивные высказывания о росте мозга и об ошибках. Ким рассказала мне, что попросила учеников выбрать любимые высказывания о росте мозга из всех, которые они вместе просмотрели, и написать их на изображениях своего мозга.

Еще одна стратегия, подчеркивающая важность ошибок, — предложить ученикам сдать свою работу в любом виде, даже тест (хотя чем реже мы проверяем уровень знаний учеников, тем лучше; подробнее см. главу 8). После этого учителя выделяют «любимые ошибки». Они должны объяснить ученикам, что ищут свои самые частые ошибки (серьезные, а не числовые погрешности). Затем дети могут рассказать об этих ошибках на уроке и начать в классе обсуждение: почему это ошибки и чем они обусловлены. В этот момент целесообразно подкрепить важные сигналы — в частности, сказать ученику, что ошибка принесла ему пользу, поскольку в этот момент он напряженно размышлял, что привело к активизации и росту его мозга. Кроме того, полезно рассказывать об ошибках и обсуждать их. Если один ученик делает ошибку, мы знаем, что другие тоже могут ее допустить; поэтому возможность проанализировать ошибку приносит пользу всем.

Если ставить ученикам оценки за выполнение заданий по математике (бесполезная практика, о которой мы поговорим позже), а также снижать баллы за ошибки, они получают крайне негативный сигнал об ошибках и изучении математики. Чтобы развивать у учеников мышление роста и давать им позитивную обратную связь, учителя должны свести к минимуму тестирования и оценку уровня знаний учеников (см. главу 8). Если учителя продолжают проводить тесты и оценивать уровень знаний учеников, им следует ставить такие же (если не более высокие) оценки за ошибки. Это будет хороший сигнал о том, что ошибка — отличная возможность для обучения и роста мозга.

Очень важно подчеркивать ценность ошибок во время урока, в присутствии всех учеников. Но учителям необходимо также давать позитивную обратную связь об ошибках во время взаимодействия с учениками один на один. В первые годы учебы в школе моя дочь получила от учителей сигналы, которые нанесли ей огромный вред и из-за которых у нее в раннем возрасте сформировалось фиксированное мышление. В четыре-пять лет у нее были проблемы со слухом (о чем мы тогда не знали). Из-за этого учителя решили, что у нее ограниченные способности, и давали ей только легкие задания. Моя дочь полностью осознавала это; когда ей было всего четыре, она спрашивала меня, почему другим детям дают более сложные задачи. Мы знаем, что ученики тратят в школе много времени на то, чтобы понять, что о них думают учителя. Моя дочь смогла определить, что ее учителя не очень высокого мнения о ней, поэтому убедила себя в том, что она глупая. Сейчас ей двенадцать, она стала совсем другим человеком и полюбила математику, поскольку уже проучилась три года в замечательной школе, где сразу же определили, что у нее фиксированное мышление, и поняли, что это сдерживает ее развитие.

Когда моя дочь училась в четвертом классе и все еще страдала от фиксированного мышления, мы с ней побывали на уроке математики в третьем классе ее школы. Учительница записала на доске две числовые задачи; моя дочь одну решила правильно, а другую неправильно. Обнаружив ошибку, она отреагировала весьма болезненно, заявив, что у нее совсем плохо с математикой и она даже слабее третьеклассников. В этот момент нужно было сказать ей нечто очень откровенное и важное. Я заявила: «Знаешь, что сейчас произошло? Когда ты решила задачу неправильно, твой мозг вырос, а когда ты получила правильный ответ, в твоем мозге ничего не произошло». Именно так учителям стоит взаимодействовать со своими учениками, которые совершают ошибки. Дочь взглянула на меня широко распахнутыми глазами — и я поняла, что для нее это была очень важная мысль. Сейчас она переходит в шестой класс, и она стала совсем другой: позитивно воспринимает ошибки и положительно относится к себе. Это стало возможно не потому, что ей давали больше заданий по математике или другой работы, а благодаря тому, что ее учили развивать мышление роста.

В 1930-е годы швейцарский психолог Жан Пиаже, один из крупнейших специалистов мира, отбросил идею о том, что суть обучения сводится к запоминанию. Он отмечал, что истинное обучение зависит от понимания того, как идеи согласуются друг с другом. Пиаже предположил, что у учеников есть ментальные модели, определяющие способ сведения идей воедино, а когда они приобретают для учеников определенный смысл, возникает то, что психолог назвал «равновесием» (см., например, Piaget, 1958, 1970). Сталкиваясь с новыми идеями, ученики пытаются привести их в соответствие с имеющимися ментальными моделями. Но если новые идеи не вписываются в существующие модели или эти модели необходимо изменить, ученики приходят в состояние, которое Пиаже обозначал термином «отсутствие равновесия». В таком состоянии человек знает, что новую информацию нельзя включить в его модели обучения; но ее нельзя и отбросить, поскольку она имеет смысл. И тогда человек пытается скорректировать свои модели. На первый взгляд может показаться, что отсутствие равновесия вызывает дискомфорт. Но, по мнению Пиаже, именно оно дарит истинную мудрость. Психолог представил обучение как процесс перехода от равновесия, в котором все связано воедино, к отсутствию оного, когда новая идея не согласуется с существующими моделями, а затем снова к состоянию равновесия. Пиаже утверждает, что этот процесс крайне важен в обучении (Haack, 2011).

В главе 4 рассматриваются практика в математике и типы практических заданий, одни из которых приносят пользу, а другие нет. И я подчеркиваю, что одна из проблем нынешнего математического образования состоит в том, что учеников знакомят с однообразными и простыми концепциями, не позволяющими им перейти к отсутствию равновесия. Мы знаем, что людям с высокой терпимостью к неопределенности легче переходить от отсутствия равновесия к равновесию — и поэтому мы должны чаще ставить учеников в условия неопределенности и риска. В следующих главах показано, как это можно сделать.

Исследования ошибок и отсутствия равновесия крайне важны для преподавания математики, причем не только для создания методов работы над ошибками, но и для выбора заданий. Если мы хотим, чтобы дети делали ошибки, нужно давать им сложные и интересные задачи, которые им трудно выполнить, но которые обеспечат отсутствие равновесия. Задания должны сопровождаться позитивной обратной связью — сигналами, которые помогут ученикам чувствовать себя комфортно, когда они будут напряженно работать, делать ошибки и двигаться дальше. Это серьезные изменения для многих учителей, которые сейчас подбирают задания по математике так, чтобы ученики могли успешно справиться с ними, и задают вопросы, на которые дети обычно отвечают правильно. Получается, ученики не работают с полной отдачей и не получают достаточных возможностей для обучения и роста мозга.