от вас до двери. Но чтобы пройти половину пути, вы должны сначала пройти четверть пути; чтобы добраться до четверти, вам нужно сначала преодолеть одну восьмую часть пути. Вы можете продолжать эту последовательность до бесконечности, пока, подобно Зенону, не начнете верить, что движение невозможно.

Этот парадокс демонстрирует тонкое различие между бесконечно малым числом и нулем. Трюк Зенона породил последовательность рациональных чисел: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16…

Возьмите любое сколь угодно малое положительное число. Если мы достаточно далеко продвинемся по последовательности Зенона, то за конечное число шагов сможем добраться до еще меньшего числа. Однако на самом деле мы никогда не достигнем нуля, как уверяет нас Зенон. Ноль — это предел этой последовательности, но не ее часть. Как размышлял Аристотель столетие спустя, мы можем осознать потенциальную возможность для реализации бесконечного количества шагов, но никогда не сможем реализовать их на самом деле. Он считал, что бесконечность можно держать в уме, но не в руке. Согласно Аристотелю и его последователям, потенциальная бесконечность была реальной, а актуальная — нет.

Так получилось, что древние греки не питали особого интереса к апейрону. Когда Платон описывал наивысшую идею Блага, он объявил его конечным и определенным, не запятнанным хаосом бесконечности. Но по мере того, как греки начали терять свое интеллектуальное превосходство, бесконечность стала развиваться. В начале III века античный философ Плотин связал бесконечность с высшей сущностью, которую он назвал Единым. Единое понималось как нечто, находящееся за пределами деления и умножения, как божественная бесконечность, существующая без предела. Спустя два века эта идея резонировала с мыслями святого Августина о христианском Боге. К тому времени мощь Рима рухнула, и многие винили в этом обращение к новой религии. Августину поручили написать несколько книг, пропагандирующих христианство и доказывающих его превосходство над старой римской идеологией. Именно в этих книгах он коснулся бесконечности, сделав вывод о ее существовании в разуме Бога. Августин осознавал, что у чисел не может быть предела, ведь если бы мы объявили, что существует какое-то наибольшее число, то к нему всегда можно добавить единицу. Поскольку не может существовать число, о котором Бог бы не знал, он должен знать все числа. Он способен мыслить о бесконечности.

Связь между Богом и бесконечностью можно найти во многих других религиозных контекстах. Например, в еврейском мистицизме каббалисты говорили о десяти сфирот и лежащем в их основе Эйн Соф. Все сфирот представляли отдельные аспекты божественного тела, а Эйн Соф было чем-то большим, бесконечным Богом, не поддающимся описанию и пониманию. Точно так же в индуизме бога Вишну иногда называют Ананта: это санскритское слово означает «бескрайний» или «беспредельный». Также это слово может означать бесконечность.

К XIII веку в западном мире начали возрождаться древние идеи Аристотеля, включая отрицание актуальной бесконечности. В результате большинство средневековых мыслителей не хотело заходить так далеко, как Августин, и признавать способность Бога создавать бесконечности за пределами его собственного существования. Самым известным из них был Фома Аквинский, который утверждал, что эти пределы не накладывают ограничений на силу Бога. Он полагал, что дополнительные бесконечности не могут существовать в реальности, как и утверждал Аристотель, поэтому их создание Богом было бы логически несостоятельным действием. Несмотря на свою неограниченную силу, Бог не мог сделать что-то бесконечным, как не мог сделать что-то несотворенным. Это рассуждение внешне выглядит элегантно, но при ближайшем рассмотрении мы видим, что оно зациклено. Оно начинается и заканчивается одной и той же идеей: существовать могут только конечные вещи.

Теология постепенно уступала место современным научным идеям, но мало кто имел желание бросить вызов бесконечности. Многие математики эпохи Возрождения пытались использовать потенциал бесконечности в духе Аристотеля, но не осмеливались прикасаться к ней. Они довольствовались тем, что приближались к бесконечности, рассматривая всё большие числа, но никогда не спрашивали о самой бесконечности.

Но Галилей был другим.

Он уже расстроил власть раньше. В своем «Диалоге о двух главнейших системах мира» Галилей выступил против католической церкви, приводя доводы в пользу коперниканского мировоззрения — с Солнцем в центре и Землей на периферии. Его книга организована в форме разговоров между тремя людьми: это ученый Сальвиати, пытающийся убедить друзей в гелиоцентрической модели; отсталый простак Симпличио, которого многие считали изображением папы; и нейтральный обыватель Сагредо. Инквизиция во главе с племянником понтифика, кардиналом Франческо Барберини, быстро отреагировала на оскорбление. Галилею приказали явиться в Рим и предстать перед судом за ересь.

К счастью, у великого ученого имелись влиятельные друзья. В защиту Галилея хотел выступить великий герцог Тосканы, и ему даже предложили убежище в Венецианской республике. Возможно, из-за самонадеянности или наивности Галилей отклонил все эти предложения и решил защищаться перед инквизицией. Он полагал, что покойный кардинал Беллармин дал ему разрешение опубликовать эти идеи, и даже имел подтверждающее письмо. К сожалению, детали не совсем соответствовали копии письма, хранившейся в Ватикане. Вскоре инквизиция признала его виновным и потребовала, чтобы ученый отказался от своей работы под угрозой пыток и смерти. Говорят, когда Галилей преклонил колени, отвергая коперниканскую точку зрения, он с вызовом пробормотал: «E pur si muove. А все-таки она вертится»[155].

Галилей провел остаток жизни под домашним арестом, написав в это время свой последний шедевр — трактат «Беседы и математические доказательства двух новых отраслей науки». В этой работе он развил свои идеи о движении, создав фундамент, на котором другие ученые — от Ньютона до Эйнштейна — в конце концов возвели башню современной физики. Именно в этой последней книге Галилей отважился прикоснуться к бесконечности. Как и ранее, его труд имел вид беседы между теми же персонажами, хотя на этот раз, после судебного процесса, Симпличио оказался несколько умнее, чем раньше.

В тексте Галилея Сальвиати предлагает двум друзьям подумать о бесконечном семействе квадратных чисел. Симпличио, связанный узлами Аристотеля, недоволен безрассудным отношением Сальвиати к бесконечности. Однако Сагредо побуждает его продолжать, и вскоре Сальвиати приходит к парадоксу. Если вы возьмете все целые числа от 0 до 15, то увидите, что только четыре из них — квадраты: 0, 1, 4 и 9. А если вы возьмете целые числа от 0 до 99, вы обнаружите, что только десять из них — квадраты. Если мы экстраполируем эту ситуацию на бесконечность, возникает соблазн сказать, что целых чисел гораздо больше, чем квадратов. В конце концов, каждое квадратное число — одновременно и целое, а вот обратное неверно.

Вот только сейчас мы имеем дело с бесконечностью, а бесконечность кусается.

Сальвиати понимает, что каждый квадрат можно сопоставить с квадратным корнем из него. Например, 0 → 0, 1