Я был счастлив принять помощь от нескольких именитых ученых: классициста Джима Хэнкинсона и историков Брюса Ханта и Джорджа Смита. Они прочли почти всю книгу, и я сделал исправления, основываясь на их замечаниях. Я глубоко признателен за эту помощь. Также я в неоплатном долгу перед Луизой Вайнберг за бесценные критические комментарии и предложенные ею строки Джона Донна, которые теперь украшают обложку и титульный лист этой книги. Также благодарю Питера Дира, Оуэна Гингерига, Альберто Мартинеса, Сэма Швебера и Пола Вудрафа за советы по отдельным темам. В конце концов хочу принести горячую благодарность за моральную поддержку и хороший совет моему мудрому агенту Мортону Дженклоу и моим прекрасным редакторам в издательстве Harper Collins – Тиму Даггану и Эмили Каннингем.

Приведенные ниже замечания объясняют научную и математическую основу многих исторических открытий, которые обсуждались в книге. Читатели, которые изучали алгебру и геометрию в старших классах школы и не полностью их забыли, не должны испытывать затруднений при чтении технических замечаний. Но я попытался организовать книгу таким образом, чтобы читатели, которые не интересуются техническими деталями, могли бы пропустить эти замечания и тем не менее понимать основной текст.

Хочу предупредить, что математический аппарат, используемый в замечаниях, не обязательно соответствует своему времени. От Фалеса до Ньютона стиль математики, применяющейся к решению физических задач, был куда более геометрическим и менее алгебраическим, чем это принято сегодня. Проанализировать эти задачи в таком геометрическом стиле было бы трудно для меня и утомительно для читателя. В этих замечаниях я покажу, как результаты, полученные натурфилософами прошлого, были дополнены (или, в некоторых случаях, не были) наблюдениями и предположениями, на которые они опираются, но я не буду пытаться достоверно воспроизвести детали всех рассуждений.

1. Теорема Фалеса

2. Платоновы тела

3. Гармония

4. Теорема Пифагора

5. Иррациональные числа

6. Установившаяся скорость падения

7. Падение капель

8. Отражение

9. Плавающие и погруженные в жидкость тела

10. Площадь круга

11. Размеры Солнца и Луны и расстояния до них

12. Размер Земли

13. Эпициклы внутренних и внешних планет

14. Параллакс Луны

15. Синусы и хорды углов

16. Горизонт

17. Геометрическое доказательство теоремы о средней скорости

18. Эллипсы

19. Элонгации и орбиты внутренних планет

20. Суточный параллакс

21. Правило равных площадей и эквант

22. Фокусное расстояние линзы

23. Телескоп

24. Лунные горы

25. Ускорение под действием силы тяжести

26. Параболические траектории

27. Вывод закона преломления света по аналогии с теннисным мячиком

28. Вывод закона преломления света на основе принципа наименьшего времени

29. Теория радуги

30. Вывод закона преломления света на основе волнового принципа

31. Измерение скорости света

32. Центростремительное ускорение

33. Сравнение Луны с падающим телом

34. Закон сохранения импульса

35. Массы планет

Теорема Фалеса – хороший пример того, как, рассуждая в понятиях геометрии, можно прийти к неочевидному выводу о свойствах окружностей и треугольников. Фалес или кто-либо другой был первым, кто доказал эту теорему, для нас она представляет интерес, так как демонстрирует, что древние греки знали о геометрии до Евклида.

Рассмотрим любую окружность. Пусть прямая пересекает ее по диаметру. Точки пересечения этой прямой с окружностью обозначим A и B. Выберем в любом месте окружности точку P, не совпадающую ни с A, ни с B, и соединим точки A и B с точкой P отрезками. Диаметр AB и отрезки AP и BP образуют треугольник ABP. Теорема Фалеса гласит, что такой треугольник всегда является прямоугольным, то есть его угол при вершине P всегда равен 90°.

Хитрость в доказательстве этой теоремы заключается в том, что необходимо из центра C окружности провести в точку P радиус CP. При этом треугольник ABP окажется разделен на два треугольника: ACP и BCP (см. рис. 1). Оба эти треугольника являются равнобедренными, то есть такими, у которых две стороны равны. В треугольнике ACP стороны CA и CP являются радиусами окружности и, по определению окружности, равны (будем обозначать стороны треугольника по точкам, которые они соединяют). Аналогично в треугольнике BCP равны стороны CB и CP. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны между собой, поэтому угол α (альфа) между сторонами AP и AC равен углу между сторонами AP и CP, а угол β (бета) между сторонами BP и BC равен углу между сторонами BP и CP. Сумма углов любого треугольника равна удвоенному прямому углу[26], или, как сейчас принято говорить, 180°, поэтому если в треугольнике ACP третий угол между сторонами AC и CP обозначить α′ и точно так же обозначить β′ угол между сторонами BC и CP в треугольнике BCP, то будут верны равенства:

Сложив оба равенства и переставив слагаемые местами, получим:

Учтем, что α′ + β′ – это развернутый угол между сторонами AC и BC, то есть такой угол, лучи которого образуют отрезок прямой линии. Его величина составляет 180°, поэтому:

Следовательно, α + β = 90°. Но если посмотреть на рисунок 1, то легко увидеть, что угол α + β – это угол между сторонами AP и BP в исходном треугольнике ABP, значит, он является прямоугольным треугольником, что и требовалось доказать.