— И всё-таки, — сказал я, когда какофония стихла, — музыкальная гамма родилась именно с помощью математики, и изобрёл её, ни много ни мало, сам Пифагор.

— Да, да, — небрежно проронил президент, — что-то в этом роде я уже слышал, но убей меня бог, если что-нибудь запомнил. Как это теперь говорят? Я не в силах переварить такой большой поток информации.

— Что делать, — сказал я, — придётся тебе поднатужиться.

— Понятно! — кивнул Нулик. — Сейчас вы станете объяснять, какое среднее музыкальное пришлось уплатить Магистру за вилион… виолончель…

— Угадал! Только число это называется не средним музыкальным, а средним гармоническим.

Нулик скорчил недовольную гримаску.

— Ну, мне от этого не легче. Лучше скажите: почему среднее гармоническое восьми и восемнадцати равно 11 леопардам и 1 ягуару?

— «Почему, почему»!.. — проворчала Таня. — Потому что в одном леопарде 13 ягуаров.

— Это я и сам знаю. А всё-таки, почему одиннадцать целых и одна тринадцатая есть среднее гармоническое восьми и восемнадцати?

Таня засмеялась.

— Хитрюга! Спросил бы уж прямо, что такое среднее гармоническое.

— Ему престиж не позволяет! — подтрунил Сева.

— Ладно, — миролюбиво сказал я, — выясним, что такое среднее гармоническое. Но для этого вспомним сперва, что такое среднее арифметическое и среднее геометрическое.

— Это я знаю, — оживился президент. — Среднее арифметическое двух чисел — это половина их суммы.

— А среднее геометрическое?

— А среднее геометрическое двух чисел есть корень квадратный из их произведения.

— Отлично! — сказал я. — Хорошо бы это записать.

— Запишем так, — отвечал Нулик:

среднее арифметическое = а+в/2 ,

среднее геометрическое = √ав .

Что, верно?

— Верно.

— Но какое отношение всё это имеет к среднему гармоническому?

— Самое прямое, — сказал я. — Потому что среднее гармоническое так относится к среднему геометрическому, как среднее геометрическое к среднему арифметическому.

— Давайте запишем и это, — предложил президент.

— Запишем, — согласился я и написал на бумажке:

среднее гармоническое/среднее геометрическое = среднее геометрическое/среднее арифметическое.

А если подставить сюда уже известные нам буквенные выражения, пропорция эта будет выглядеть так:

Отсюда

— Ага! — обрадовался Нулик. — Теперь подставим сюда цены скрипки и контрабаса. Допустим, цена скрипки — а. Подставляем, стало быть, 8. Цена контрабаса — Ь. Подставляем 18. Тогда

среднее гармоническое = (2×8×18)/(8+18)

Теперь всё это взбалтываем, смешиваем и получаем 144/13, или 111/13.

— Ну вот, — облегчённо вздохнул Сева. — Их президентское высочество ублаготворены: леопарды и ягуары сошлись.

— По-моему, — вставил Олег, — надо ещё обратить внимание на то, что из всех трёх средних самое большое — среднее арифметическое, а самое маленькое — среднее гармоническое.

Нулик поднял светлые бровки.

— Всегда?

— Нет, не всегда, а только в том случае, если числа а и b не равны между собой.

— А если равны?

— Ну, тогда все три средних тоже равны между собой.

— Всё это хорошо, — важно сказал президент, — но не кажется вам, что разговор у нас какой-то чудно́й? Сперва говорили про музыку, потом про Пифагора, а потом забыли и про то, и про другое.

— Ничего мы не забыли, — возразил я. — Теперь мы выяснили наконец, что такое среднее гармоническое, и потому можем вернуться к вопросу о связи математики с музыкой. Стало быть, и к Пифагору, который много занимался гармонией. А гармония для Пифагора была понятием широким. Он искал её и в геометрии, и в арифметике, и в движении небесных тел, и в музыке. И находил во всех этих областях науки общие законы гармонии. Пифагор создал целое учение о гармонии и главную роль в этом учении отводил числам. Особое значение придавал он первым четырём числам натурального ряда — 1, 2, 3 и 4. По его мнению, эти числа лежат в основе всякой гармонии…

— Вот уж не нахожу, — перебил Нулик. — Четыре — ещё куда ни шло, но тройка, тем более — двойка… Ничего в них хорошего нет! Так, по крайней мере, говорит моя мама, когда я показываю ей свой школьный дневник.

— Ну, мама, очевидно, подразумевает совсем другое, — улыбнулся я, — а Пифагор считал эти числа фундаментом мировой гармонии. Он пристально изучал их отношения, или, лучше сказать, соотношения, и очень неожиданно применил их в музыке.

— Что ж такое он сделал? — спросил президент, весьма заинтригованный.

— Да на первый взгляд ничего особенного: взял обыкновенную струну и натянул её на доску.

— Это и я могу! — отозвался президент. — Струну можно снять со скрипки, а доску добыть — дело нехитрое.

— Нет, скрипку разорять ни к чему, — быстро сказал Сева, к великому разочарованию президента, обожавшего всё разбирать и развинчивать. — Скрипка — это ведь, собственно, и есть дощечка с натянутыми на неё струнами.

— Отлично! — согласился я. — Возьмём скрипку и познакомимся с изобретением Пифагора на личном опыте. Вот струна. Ущипни-ка её, Нулик.

Президент выполнил мою просьбу с удовольствием.

— А теперь прижми струну к грифу точно посередине и ущипни её ещё разок… Слышишь? Этот звук получился гораздо тоньше первого, или, как говорят музыканты, выше.

— Слышу! — подтвердил президент, не переставая терзать бедную струну.

— Так вот, разность этих высот, или, как говорят, интервал между ними, принято называть октавой. И получилась октава оттого, что струну разделили в отношении 2:1. Теперь разделим струну на три части и прижмём на расстоянии двух третей. Ну-ка, что там у нас получилось?

— Получился звук хоть и повыше, чем тогда, когда дёргали целую струну, зато чуть пониже, чем когда разделили струну на две части.

— Правильно. Звук при этом получается выше не на октаву, а на так называемую квинту. И происходит это тогда, когда струну делят в отношении 3:2. А теперь разделим струну в отношении 4:3. Попросту прижмём её на расстоянии трёх четвертей. Что получилось? Получился звук ещё чуть ниже, чем тогда, когда мы ущипнули две трети струны. Этот интервал между высотой звучания всей струны и высотой звучания трёх её четвертей называется квартой.