Второй многообещающий способ обобщить представления координатной геометрии состоит в том, чтобы разрешить комплексные координаты. Припомним, кстати, что в системе комплексных чисел существует число нового типа i, квадрат которого равен −1. Зачем усложнять все на свете таким странным образом? Затем, что алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел ведут себя гораздо лучше. На множестве действительных чисел квадратное уравнение может иметь два решения или ни одного. (Оно может также иметь одно решение, но в определенном — и весьма разумном — смысле лучше считать, что одно решение повторяется дважды.) На множестве комплексных чисел квадратное уравнение всегда имеет два решения (опять же если корректно учитывать повторяющиеся решения). В некоторых случаях такое свойство может оказаться очень полезным. Можно сказать: «Решаем уравнение для седьмой переменной» — и быть уверенным, что такое решение действительно существует.

Тем не менее, хотя в этом отношении все очень удобно, некоторые свойства комплексной алгебраической геометрии без привычки воспринимаются довольно тяжело. Если говорить о действительных переменных, то там прямая может пересекать окружность в двух точках, касаться ее или проходить в стороне и не иметь с ней общих точек. В случае комплексных переменных третья возможность исчезает. Но если привыкнуть к изменениям, то окажется, что комплексные алгебраические многообразия ведут себя куда лучше, чем действительные. Иногда действительные переменные необходимы, но в большинстве случаев в комплексном контексте работать удобнее. Во всяком случае нам теперь известно, что представляет собой комплексное алгебраическое многообразие.

Как насчет слова «проективное»? Это третье обобщение, и для него требуется несколько иное представление о пространстве. Проективная геометрия выросла из интереса, который живописцы эпохи Возрождения питали к законам перспективы, и в ней отсутствует особое поведение параллельных прямых. В евклидовой геометрии две прямые либо пересекаются, либо параллельны, и тогда они не встретятся никогда, сколько их ни продолжай. А теперь вообразите себя стоящим с кистью в руке перед мольбертом на бесконечной плоскости. Все готово, палитра ждет, а перед вами две параллельные прямые уходят к закатному горизонту, как два бесконечных идеально прямых железнодорожных рельса. Что вы видите и, соответственно, что появится на вашем холсте? Вовсе не две линии, которые никак не могут сойтись. Вы увидите, как линии постепенно сближаются и на горизонте сходятся в точку.

Какой части плоскости соответствует горизонт? Той части, где встречаются параллельные линии. Но такого места нет. Горизонт на вашей картине представляет собой границу изображения плоскости. Если с окружающим миром все в порядке, то горизонт должен быть изображением границы плоскости. Но у плоскости нет границ. Она продолжается бесконечно. Все это слегка сбивает с толку, как будто часть евклидовой плоскости куда-то пропала. «Проектируя» плоскость (ту самую, с рельсами) на другую плоскость (ваш холст на мольберте), вы получаете на картине линию — горизонт, — которая не является проекцией никакой линии на изображаемой плоскости.

Существует способ избавиться от этой загадочной аномалии: добавить к евклидовой плоскости так называемую линию бесконечности, представляющую отсутствующий горизонт. После этого все сильно упрощается. Две прямые всегда встречаются в точке; прежнее представление о параллельных прямых соответствует случаю, когда две прямые встречаются в бесконечности. Эту идею после надлежащего осмысления можно совершенно разумно перевести на язык математики. Результат такого перевода и называется проективной геометрией. Это очень элегантный предмет, и математики XVIII и XIX вв. его обожали. Со временем оказалось, что сказать им по этому вопросу больше нечего — все уже сказано, и в таком состоянии эта область пребывала до тех пор, пока математики XX в. не решили обобщить алгебраическую геометрию на многомерные пространства и использовать комплексные числа. В этот момент стало ясно, что с тем же успехом можно довести дело до логического конца и вместо действительных решений систем алгебраических уравнений в евклидовом пространстве изучать комплексные решения в проективном пространстве.

Позвольте мне суммировать сказанное. Проективное комплексное алгебраическое многообразие похоже на кривую, определенную алгебраическим уравнением, за исключением того, что:

• число уравнений и переменных может быть любым по нашему желанию (алгебраическое многообразие);

• переменные могут быть комплексными, а не действительными (комплексность);

• переменные могут принимать бесконечные значения разумным образом (проективность).

Добавим здесь же, что несложно разобраться и с еще одним термином из формулировки: с невырожденностью. Это слово означает, что многообразие является гладким и не имеет острых гребней или мест, где его форма сложнее, чем просто гладкий кусок пространства. Поверхность Куммера, например, имеет сингулярности в 16 двойных точках. Разумеется, нам нужно еще объяснить, что означает «гладкость», когда переменные комплексны и некоторые из них могут быть бесконечными, но на это есть рутинные общепринятые методики.

Вот мы и добрались почти до середины формулировки гипотезы Ходжа. Мы уже знаем, о чем идет речь, но пока не понимаем, как, по мнению Ходжа, эта штука должна себя вести. Теперь нам нужно разобраться с самыми глубокими и в то же время формальными аспектами: алгебраическими циклами, классами и особенно классами Ходжа. Однако самую суть я могу раскрыть прямо сейчас. Все это технические средства, помогающие получить частичный ответ на фундаментальнейший вопрос о нашей обобщенной кривой: какой она формы? Оставшаяся часть формулировки — «рациональная линейная комбинация» — говорит о том, как в соответствии с общими надеждами следует ответить на этот вопрос.

Смотрите, как далеко мы продвинулись. Мы уже понимаем, что примерно представляет собой гипотеза Ходжа. Она говорит о том, что форму любой обобщенной поверхности, задаваемой некими уравнениями, можно определить при помощи каких-то алгебраических манипуляций с вещами, известными как циклы. Я мог бы сказать об этом в самом начале главы, но тогда эта формулировка вряд ли объяснила бы много больше, чем официальная. Теперь же, когда мы знаем, что такое многообразие, все понемногу проясняется.

Кроме того, все начинает сильно напоминать топологию. «Определение формы путем алгебраических вычислений» поразительно похоже на идеи Пуанкаре об алгебраических инвариантах топологических пространств. Так что следующий шаг потребует обсуждения алгебраической топологии. В активе Пуанкаре значится открытие трех важных типов инвариантов, определенных в терминах трех концепций: гомотопии, гомологии и когомологии. Нас в данном случае интересует когомология — и конечно (кто бы мог подумать!), именно ее объяснить труднее всего.

Я думаю, пора приступать.

В трехмерном пространстве с действительными координатами пересечением сферы и плоскости (если они, конечно, вообще пересекаются) является окружность. Сфера — это алгебраическое многообразие; окружность — тоже алгебраическое многообразие и притом входит в состав сферы. Мы называем это подмногообразием. В более общем случае, если взять уравнения (с большим числом переменных, комплексные, проективные), определяющие некое многообразие, и добавить к ним еще несколько уравнений, то некоторые решения — те, что не удовлетворяют новым уравнениям, — как правило, теряются. Чем больше у нас уравнений, тем меньше становится многообразие. Расширенная система уравнений определяет некоторую часть первоначального многообразия, и эта часть сама по себе тоже является многообразием — это подмногообразие.