Это утверждение известно как континуум-гипотеза; возможно, вы помните, что это первая из двадцати трех нерешенных проблем Гильберта, предложенных в 1900 году. По сути, она утверждает, что континуум расположен на один алеф выше множества натуральных чисел, хотя вовсе не очевидно, что это должно быть верно. С таким же успехом континуум может иметь размер какого-то более высокого алефа, а возможно, он вообще не имеет ничего общего с алефами. Кантор был одержим своей гипотезой. В его письмах Миттаг-Леффлеру прослеживается история все более отчаивающегося человека. Он то торжествующе сообщает шведскому математику, что доказал гипотезу, то в отчаянии признается, что обнаружил в своей работе роковую ошибку. Он метался между доказательством и опровержением, между иллюзией успеха и реальностью неудачи.

По сей день континуум-гипотеза не доказана и не опровергнута. Однако в 1963 году американский математик Пол Коэн сделал важное открытие. Вдохновляясь работами великого логика Курта Геделя, Коэн показал, что континуум-гипотеза не зависит от основных строительных блоков математики, то есть аксиом, входящих в систему аксиом Цермело — Френкеля, дополненную аксиомой выбора (такая система называется ZFC, буквы обозначают математиков Эрнста Цермело (Zermelo) и Абрахама Френкеля (Fraenkel), а также слово choice — выбор)[161]. Это означает, что вы можете считать континуум-гипотезу хоть истинной, хоть ложной, и ни одно из этих утверждений никогда не приведет к противоречию. Чтобы понять это, представьте, что фаната «Ливерпуля» спрашивают, болеет ли он также за «Манчестер Юнайтед» — самого принципиального соперника «Ливерпуля». Вы сразу понимаете, что это невозможно, поскольку это взаимоисключающие вещи. Но что произойдет, если спросить, болеет ли он также за «Бостон Ред Сокс»? Если учесть, что это команда из совсем другого вида спорта (бейсбольный клуб из США), никакого противоречия нет: фанат «Ливерпуля» вполне может за нее болеть или не болеть. Коэн показал, что математикам следует так же спокойно относиться к континуум-гипотезе. Через восемьдесят лет после того, как Кантор сошел с ума, Коэн получил за свою работу Филдсовскую премию — математический эквивалент Нобелевской премии.

Со временем Кантор станет воспринимать континуум-гипотезу как догму, нечто, выходящее за рамки математики. Гипотеза принадлежала Богу, и, по мнению Кантора, Бог защищает ее. Во второй половине своей жизни Кантор все больше времени проводил в больнице. Его срывы обычно начинались взрывом, когда он разглагольствовал о несправедливости мира, а затем наступала депрессия. Как позже вспоминала его дочь Эльза, он замыкался и не мог общаться. Во время своих длительных ремиссий Кантор часто предавался другой страсти, не имевшей отношения к его битве с континуумом. Он сражался с Шекспиром.

Кантор считал Шекспира самозванцем и полагал, что его пьесы принадлежали ученому XVII века сэру Фрэнсису Бэкону. Родным языком Кантора был немецкий, он также говорил по-датски и по-русски, и, хотя английский стал его четвертым языком, он считал, что знает его достаточно хорошо, чтобы публиковать брошюры в поддержку своей радикальной шекспировской гипотезы[162]. В 1899 году, после очередного срыва, Кантор получил от университета отпуск по состоянию здоровья. За этим последовал странный эпизод, который позволяет заглянуть в тревожное состояние разума Кантора. Он отправил письмо в Министерство просвещения, где просил освободить его от профессорской должности и дать спокойно работать в библиотеке на службе у кайзера. Он сообщал, что обладает обширными познаниями в истории и литературе, предлагая в качестве доказательства свои брошюры, и даже утверждал, что у него есть новая информация об английской монархии и личности ее первого короля. Кантор заверял, что если министерство своевременно не отреагирует на его просьбу, то он предложит свои услуги русскому царю. Но министерство проигнорировало его письмо, и Кантор так и не установил контакта с русскими.

Когда в Европе разразилась Первая мировая война, важность математических работ Кантора уже признали, в отличие от его работ по английской литературе. Военные условия в Германии привели к тому, что последние дни он провел в нищете. Когда британский ученый Бертран Рассел опубликовал в 1951 году его письма, он воздал должное Кантору как «одному из величайших умов XIX века», чьи «промежутки просветления были посвящены созданию теории бесконечных чисел». Но он также добавлял: «После чтения его письма никто не удивится, узнав, что он провел большую часть своей жизни в сумасшедшем доме».

Кантор отважился исследовать небеса бесконечности. Изучая его наследие, другие осмелились заглянуть еще дальше. Оказывается, есть уровень бесконечности, лежащий за пределами даже бесконечно бесконечного; эти числа известны как недостижимые. Чтобы понять идею недостижимости, нам сначала нужно вернуться в царство конечности — к натуральным числам. Есть ли способ добраться до алефов с помощью правил арифметики? Ответ — решительное «нет». В царстве конечности у нас есть исключительно конечные числа и нам доступно только конечное число операций сложения, умножения или даже возведения в степень. В результате доступ к алефам закрыт. В этом смысле алеф — недостижимое кардинальное число, потому что мы не можем добраться до него, играя в арифметические игры с конечными кардинальными числами, находящимися ниже.

Теперь прыгнем в небеса.

Получив в свои руки

, мы можем перейти к еще большим количественным числам с помощью образования множества всех подмножеств. Если континуум-гипотеза верна, то  немедленно приведет нас к  , а дальше правила арифметики позволяют нам выйти к  , и т. д. По мере того как мы достигаем всё больших кардинальных чисел, мы начинаем задаваться вопросом: есть ли что-то, до чего мы не сможем добраться? На самом деле мы этого не знаем. Первый вариант ответа на этот вопрос — отрицательный; в этом случае  — единственное кардинальное число, которое недоступно снизу. Но такое заключение выглядит довольно скучно. Гораздо интереснее вообразить себе более высокие алефы, которые настолько велики, что недостижимы для всех предшествующих. Именно к этому варианту склонны математики, — в конце концов, они сами создают свои правила и смотрят, что из этого получится. Давайте примем такую точку зрения и рассмотрим первое из наших новых недостижимых чисел. Находясь в царстве низших алефов, мы можем только смотреть, но не прикасаться. Как бы часто мы ни возводили в степень, мы никогда не сможем достичь его, как не могли достичь из царства конечности. Это новый уровень числа, небесный левиафан, ускользнувший от бесконечности бесконечностей. У него нет названия, поэтому я попросил своих детей придумать его, подобно Эдварду Казнеру, племянник которого сочинил слово «гугол». В итоге они остановились на