По смыслу все такие построения суть продукты обычных в математике операций над знаками количеств – над формами, независимо от содержания. Имея дело с абстрактами, математик неизбежно приводится к мышлению формами, т. е. внешними изображениями абстрактов; непогрешимость же его выводов при таком условии определяется тем, что в математике (и только здесь) форма вполне соответствует содержанию. Так, в алгебре одним простым знаком очень часто выражается величина, действие над нею и результат; в случае же, если результат неизобразим коротким знаком, его изображает так называемая формула.

Отсюда уже становится понятно происхождение всех вообще разрывов математики с действительностью, в основе их лежит размножение форм по аналогии и путем обобщения.

Совокупность всех таких построений в математике и была мной отнесена в четвертую категорию внечувственных объектов, под именем логических построений без реальной подкладки.

Как же отнестись к таким проявлениям человеческого ума? Представляют ли они наивысшую инстанцию мышления, создавая продукты, заходящие за всякие пределы опыта, и дают ли право думать, что человеческая мысль способна вообще, т. е. не в одной области количественных отношении, заходить безнаказанно за эти пределы, путем логических или, как часто говорится, путем умозрения? Отрицательный ответ на первый вопрос очень прост и ясен: все трансцендентные, т. е. превосходящие опыт, математические построения производятся, как уже было сказано, обычными логическими операциями, знаками, следовательно, не открывают никаких новых особенностей в мыслительной способности человека. Что же касается второго вопроса, ответ на него всего естественнее искать в истории развития (именно в прогрессировании) опытных знаний, так как именно здесь творческая мощь человеческого ума выступает за все последнее столетие с особенной яркостью.

Опытное знание, двигаясь вперед, открывает, как говорится, все новые и новые горизонты – ряды загадок, вытекших из опыта, но лежащих за его пределами. К счастью для человечества, ум не останавливается на пороге опыта и идет дальше, в область загадок. Одни из них оказываются разрешимыми лишь отчасти или условно; другие разрешимы тотчас же и вполне наличными средствами особенно искусного исследователя, а некоторые, будучи вполне понятными для ума, не могут быть разрешены опытом только в данную минуту. Так, Леверрье открыл, как известно, Нептуна не телескопом, а путем логических построений по данным астрономического опыта. Мысли о значении среды в так называемом «действии на расстоянии» были в уме Фарадея делом логических требований из его опытов, прежде чем были признаны другими, и вошли необходимым звеном в объяснение опытных фактов. Аналогия между светом и электричеством была в уме Максвелла ранее, чем подтвердившие ее опыты Герца. В сущности, такие факты встречаются в области открытий едва ли не на каждом шагу, потому что предшествием открытию всегда служит какое-либо соображение, вызванное не испытанным еще сопоставлением известных фактов (например, мысли Роберта Майера, из которых возникло учение о сохранении энергии). Новое неожиданное открытие представляется лишь публике в таком виде, словно оно вышло из ума изобретателя без предвестников как deus ex machina; для самого изобретателя и всех равных ему по образованию это лишь новая сторона известного.

Значит, путем логических построений можно действительно додуматься до новых истин (положительных знаний), но лишь при условии, если в основании их лежат, как посылки к умозаключениям, известные факты. Но не то ли же самое происходит, в сущности, и в уме математика, когда он додумывается до новых трансцендентных положений? Ведь и здесь основанием для вывода служит какое-либо новое сопоставление уже известных математику данных из накопленного им математического опыта.

То же в сущности происходит и при условном решении опытных загадок, т. е. при построении гипотез опытных наук. Достоверностью пользуются, как известно, только те из них, которые стоят на пороге объясняемых положительных фактов и где дополнительные гипотетические члены, имея значение логических выводов из определенных посылок, облечены в реальную форму, т. е. не суть реальности действительные, а реальности возможные.

Итак, подобно тому, как в обыденной жизни за пределами накопленного человеком опыта лежит для его мысли область возможного и действия человека дают ценные результаты лишь при условии, если при движении вперед они направляют усилия в сторону для него возможного, так и в деле познания почвой для истинного прогресса знаний служит лишь возможное для данного времени. К сожалению, и там и здесь рядом с действительной возможностью лежат возможности лишь кажущиеся. Так, в области знаний мысль человеческая привыкла с глубокой древности забегать крайне далеко за пределы опыта и считать возможными даже такие проблемы, как объединение всех наличных знаний данного времени, или начало, цели и конечные причины всего существующего.

Нужно ли говорить, что забегание мысли в такие отдаленные сферы соответствует в самом счастливом случае витанию ее в области загадок, без всякой возможности доказать основательность делаемых выводов, так как твердых критериев для различения действительной возможности от кажущейся вне проверочного научного опыта нет; а такие опыты здесь невозможны.

Здесь я остановлюсь, чтобы резюмировать все доселе сказанное по поводу развития внечувственных продуктов из опытных данных.

Расчленением субъективных и объективных рядов со стороны условий чувствования и действия человек приучается к мысли считать реальным не только то, что непосредственно доступно чувству. Для выводимых этим путем нечувственных продуктов есть на обыденном языке даже родовое имя – возможность. Сумма всех опытных возможностей составляет для всякого человека ту почву, на которой он строит внечувственное.

Продолженным действием дробления, в применении к внешним телам, он прямо достигает продуктов, превышающих чувства. Убеждение в раздельном существовании каждой невидимой пылинки основано у всякого человека на опытном знании фактов (вывод из сопоставления сходных рядов), что по мере продолжения действия дробления увеличивается дробность раздельных частей.

Продолженным действием сочетания в применении к внешним телам он доходит до познания факта (опять вывод из сопоставления сходных рядов), что по мере продолжения действия сочетания нарастает постоянно множественность собираемых частей и постоянно увеличивается протяженность группы. При этом в голове некоторых уже мелькают размеры, превосходящие чувства, как неизбежное последствие продолжаемого и продолжаемого сочетания, но мелькают неясно, как всякая неиспытанная возможность.

Из тех же, может быть, опытов продолженного сочетания над внешними телами, может быть, также из анализа периодических актов ходьбы, но во всяком случае из анализа каких-нибудь очень правильных периодических движений собственного тела возникают числа и меры. Раньше или позже первые приводятся в систему и облекаются в графические знаки, а для мер устраиваются шаблоны.

Когда из числа и мер родится ясное представление о равных частях в целом, числа и меры могут дробиться и увеличиваться в каких угодно пределах, и так как исходные величины определенны, то такими же должны быть и производные меры.