Архимедовы исследования шара заслуживают особого внимания: мы не только знакомы с его строгим доказательством, но и знаем, как оно было открыто, – и уж в этой истории никакой строгости нет. Обоснование приводится в его книге «О шаре и цилиндре». Он доказывает, что объем шара равен двум третям от объема описанного около него цилиндра, а площадь поверхности шара равна площади боковой поверхности этого цилиндра. Говоря современным языком, Архимед доказал, что объем шара равен 4/3 πr3, где r – радиус; а площадь его поверхности равна 4πr2. Эти формулы используются и по сей день.

В доказательствах Архимед использовал метод исчерпывания. Он имеет важное ограничение: вам необходимо знать результат заранее, чтобы повысить свои шансы доказать его. Много веков ученые не могли понять, как Архимеду удалось это узнать. Но в 1906 г. голландский ученый Йохан Гейберг наткнулся на пергамент XIII в. с записанными на нем псалмами и обнаружил под ними более ранние стертые записи. Оказалось, это труды Архимеда, причем некоторые из них были неизвестны. Такие документы (записи, затертые на пергаменте ради новых текстов) называются палимпсестами. (Поразительно, но этот же манускрипт содержит еще две утраченные работы древних авторов.) Одна из работ Архимеда, «Послание к Эратосфену о методе» (книга «Метод механических теорем»), объясняет, как угадать объем шара. Идея в том, чтобы нарезать фигуру на сколь угодно тонкие слои и поместить их на одном конце рычага, а на другом – такие же слои цилиндра и конуса, чьи объемы Архимед уже умел вычислять, и взвесить. По закону равновесия рычага мы найдем требуемое значение объема шара. Сам пергамент был приобретен частным лицом за 2 млн долл. в 1998 г.

Архимедов винт

Греческая геометрия имела ограничения; некоторые из них удалось преодолеть благодаря применению новых методов и концепций. Евклид фактически ограничил геометрические чертежи теми, что можно было выполнить с помощью линейки без делений и пары ножек циркуля (здесь акцент на слове «циркуль»: слово «пара» используется так же, как в выражении «резать бумагу парой ножниц», так что не будем излишне педантичны). Иногда говорят, что он сделал это обязательным требованием, но оно касалось его чертежей, а не общих правил. С помощью дополнительных инструментов можно было построить и иные фигуры – идеальные в той же степени, в какой может быть идеальным круг, начерченный циркулем.

Шар и описанный вокруг него цилиндр

Например, Архимед знал, что вы можете сделать трисекцию угла при помощи линейки с двумя зафиксированными метками. Греки называли этот метод построения «невсис». Теперь нам известно (судя по всему, это уже предполагали греки), что точная трисекция угла при помощи линейки и циркуля невозможна, а значит, вклад Архимеда расширил границы возможного. Еще две знаменитые проблемы того времени – удвоение куба (построение тела, чей объем вдвое больше объема исходного) и квадратура круга – построение квадрата, равновеликого площади заданного круга. Их также невозможно решить только при помощи циркуля и линейки.

Дальнейшее расширение разрешенных операций в геометрии – введение нового вида кривых, конических сечений, – отразилось в арабских работах о кубических уравнениях, созданных около 800 г. н. э., и широко применялось в механике и астрономии. Эти кривые, что крайне важно для истории математики, получаются при пересечении плоскости с двойным конусом.

Палимпсест с трудами Архимеда

Конические сечения

Сегодня мы знаем три главных типа таких конических сечений.

• Эллипс – замкнутая овальная кривая – возникает, когда плоскость пересекает только одну половину конуса. Окружность – разновидность эллипса.

• Гипербола – кривая с двумя бесконечно длинными ветвями – получается, когда плоскость пересекает обе половины конуса.