Оказывается, задача вовсе не так тривиальна, как кажется на первый взгляд: время подъёма зависит от массы автомобиля, в которую входит масса топлива, а необходимая масса топлива, в свою очередь, зависит от времени подъёма. Прям замкнутый круг какой-то! Правда, Николай назвал это по-другому – самосогласованной задачей. – Ну, представь, – пояснил Николай, – что ты снимаешь фильм про то, как ты снимаешь этот самый фильм. Тогда сам процесс снятия фильма будет влиять на события, которые ложились в основу первоначального фильма, поскольку сам процесс снятия фильма о фильме уже будет одним из событий, на основании которых снимается фильм. Понял?

На данном этапе я четко понял лишь одно – наше road movie и есть та самая самосогласованная задача, зависящая от множества факторов и сама себя определяющая.

Но задачка, как оказалось, так захватила моих друзей-физиков, что какое-то время спустя Николай даже написал строгое её решение. Результат получился весьма интересным. Так что, если недосуг пробираться через дебри математических выкладок, смело их пропускайте и идите сразу в конец этой главы.

Николай Полуэктов: Итак, решение Луны. Напомню условие задачи: можно ли на обычной малолитражке (конкретно на ВАЗ-21083) добраться до Луны? Нужно посчитать время подъёма, а также сколько нужно брать с собой топлива/кислорода/еды etc.

Для того чтобы получить решение, необходимо уточнить исходные данные. Что мы имеем? Во-первых, массу автомобиля m – порядка 1 тонны.

Во-вторых, расход топлива в единицу времени. Здесь я исходил из следующих оценок. Мощность двигателя 21083 ~ 70 л. с. (то есть грубо 50 кВт). Разумно предположить, что на максимальной скорости (200 км/ч) сила трения (внутреннее трение, сопротивление воздуха) уравновешивается силой двигателя внутреннего сгорания (коль скоро больше 200 км/ч машина разогнаться не способна), при этом двигатель работает на максимальной мощности. Принимая, что при этом расход топлива составляет 10 л на 100 км пробега, получаем, что при достижении максимальной мощности двигателя расход топлива составляет 10 л / 100 км × 200 км/ч = 20 л/ч. Принимая плотность бензина грубо равной плотности воды, получим расход топлива (обозначим его а) на уровне 20 кг/ч.

В дальнейшем мы везде полагаем, что к Луне «восьмерка» движется на максимальной мощности. А скорость автомобиля в любой момент оцениваем по формуле:

v = W/F. (1)

W, понятно, это мощность двигателя, а F – сила, действующая на автомобиль в данный момент времени. Далее везде под этой силой я буду понимать силу тяжести, то есть M × g(r) (g – ускорение свободного падения, которое зависит от высоты над поверхностью Земли r; M – масса автомобиля в данный момент времени). Как видим, силами трения, а также собственным ускорением автомобиля я полностью пренебрегаю. Возможность пренебречь ими я обсужу ниже, пока же отмечу, что отбрасывание этих сил, бесспорно, «завышает» значение скорости, – значит, полученное решение задачи будет давать минимальные время и количество топлива для подъема ВАЗ-21083 на Луну.

Дальнейшее – простая математика. Вводим радиус Земли R (нетрудно догадаться, зачем: g(r) = gR²/(R + r)²) и получаем следующее уравнение движения:

v = W/{(m + x – at) × gR²} × (R + r)². (2)

Что есть что в формуле (2): t – это, понятно, время (с момента старта), а x – та самая неизвестная масса топлива (кислорода, еды), которую нужно принять на борт, чтобы было на чём долететь до Луны.

Если вспомнить, что v есть производная от r, то получаем обыкновенный диффур первого порядка, в котором, кстати, ещё и переменные разделяются. Не буду утомлять решением диффура, напишу его сразу:

1/(R + r) = W/gR²a ln{(m + x – at)/(m + x)} + 1/R. (3)

И что теперь? Понятно, что расстояние до Луны много больше радиуса Земли, поэтому для простоты положим его равным бесконечности. Кроме того, мы рассчитываем, что топлива хватит аккурат до момента достижения лунной поверхности, то есть x = t в момент прилунения. Тогда из (3) получаем простой ответ:

x = m {exp(gRa/W) – 1}; (4)

t = m/a {exp(gRa/W) – 1}.

Ну, и самое время получить из буквенных оценок численные. g = 10 м/с², R= 6400 км, значит, gRa/W = 7,11… Возводя в эту степень экспоненту, получаем примерно 1200. То есть топлива с собой нужно взять по меньшей мере на три порядка больше массы самого автомобиля – где-то 1 тыс. т. Сколько же в таком случае путешествие займёт времени? Из второй формулы получаем: 60 тыс. часов, или почти семь лет!

Ответ получен, осталось разобраться, насколько он корректен. Ну, во-первых, вдумчивый читатель сразу меня упрекнет в том, что я нигде не оценивал массу кислорода и еды, необходимых «пилоту» и двигателю для поддержания жизни. Что ж, упрек справедлив. Давайте примем, что кислорода и еды уходит в единицу времени примерно столько же, сколько и бензина – 20 кг/ч. Это означает, что в наших формулах нужно вдвое увеличить коэффициент а, что приведёт к увеличению и времени полёта, и первоначальной массы ещё на три порядка. То есть масса топлива увеличивается до более чем 1 млн. т, а время полета – почти до 10 тыс. лет!

Теперь – о тех силах, которыми мы пренебрегли. Во-первых, силой трения: простой расчёт показывает, что на старте сила трения по крайней мере на порядок ниже силы тяготения. Действительно, в «земных» условиях при скорости 200 км/ч сила трения максимальна и равна Fmp = W/v = 50 000/200 × 3,6 = 900 Н (коэффициент 3,6 взялся при пересчете «км/ч» в «м/с»). В то же время сила тяготения Fg= mg = 1000 × 10 = 10 тыс. Н. То есть в принципиально важный отрезок времени – разгона автомобиля – сила трения и вправду несущественна.

Во-вторых, мы везде пренебрегали ускорением автомобиля (то есть сила F = ma нигде не учитывалась). Простые оценки показывают, что на расстояниях до 100R эта сила меньше «главной» силы – тяготения (её мы учли). Поскольку расстояние до луны ~60R, выходит, качественно наше решение отвечает реальности.

Кстати, стоит сказать, что на больших расстояниях (100R и более) предложенное решение, безусловно, неприменимо. Там уже нельзя не учитывать ускорение автомобиля, да и вообще на очень больших расстояниях скорость, вычисленная по формуле (1), рискует превысить скорость света, то есть там нужно будет применять аппарат специальной теории относительности, ньютоновская механика в этом случае будет уже неуместна. Так что для расчёта путешествия на Марс (минимальное расстояние до которого от Земли – 9 тыс. R) вся вышеизложенная математика не подходит. А вот для полета на Луну