Однажды, в один из августовских дней 1684 года, в гости к Ньютону зашел Эдмонд Галлей. Галлей принадлежал к тем немногим, для кого дверь в комнаты Ньютона в Тринити-колледже всегда была открыта. Они познакомились двумя годами ранее, вскоре после возвращения Галлея из Франции, где он проводил тщательные наблюдения за кометой, которая позже будет названа его именем. Ньютон тоже наблюдал за кометой и с радостью принял собрата-энтузиаста в круг своих собеседников и корреспондентов.

В этот день Галлей не принес важных научных новостей. Он покинул Лондон ради семейного дела в сельской местности близ Кембриджа и просто зашел к Ньютону в гости. Но в ходе беседы Галлей вспомнил, что хотел обсудить с другом и одну техническую проблему.

Вопрос Галлея казался довольно тривиальным. Не будет ли Исаак Ньютон столь любезен разрешить его? В январе прошлого года Галлей, Роберт Гук и архитектор сэр Кристофер Рен беседовали после встречи Королевского общества. Рен задал вопрос, верно ли, что движение планет повинуется закону обратных квадратов — те самые отношения обратных квадратов, которые Ньютон исследовал в чумные годы. Галлей честно признался, что не смог решить эту задачу, но Гук утверждал, что доказал истинность закона обратных квадратов и "что на основании этого закона могут быть описаны все небесные движения".

Однако на требование показать свои результаты Гук ответил отказом, и Рен открыто усомнился в том, что тот говорит правду. Рен знал, какой это непростой вопрос. За семь лет до этого Исаак Ньютон навещал его в Лондоне, и они обсуждали сложность проблемы обнаружения "философских начал небесных движений".[49] Поэтому Рен не принял утверждение Гука на веру. Вместо этого он предложил приз, книгу ценой в сорок шиллингов,[50] тому, кто сможет решить задачу в течение двух месяцев. Гук важно объявил, что попридержит свой труд, чтобы "другие попытались и смогли бы понять его ценность, испытав поражение". Но прошло два месяца, затем еще несколько недель, а Гук ничего не предъявил. Галлей выразился дипломатично; он не стал писать, что Гук потерпел неудачу, но сказал лишь: "Я пока не вижу, чтобы в этом конкретном случае он сдержал свое слово".[51]

Дело оставалось без движения, пока Галлей не обратил вопрос Рена к Ньютону: "Как он думает, какой будет кривая, описываемая планетами, предполагая, что сила притяжения к Солнцу зависит от квадрата их расстояния от него?" Ньютон немедленно ответил, что это будет эллипс. Галлей, "охваченный радостью и изумлением", спросил, отчего он так в этом уверен, на что Ньютон ответил: "Как отчего?.. Я вычислил это".

Галлей сразу же попросил показать вычисления, но, как он рассказывал позднее, Ньютон никак не мог их найти в своих бумагах. Наконец сдавшись, он пообещал Галлею, что "запишет их заново и пошлет ему".[52]

В то время как Галлей ожидал в Лондоне, Ньютон попытался воссоздать свою прежнюю работу и потерпел неудачу. В прошлый раз он сделал ошибку в одной из диаграмм, и его изящная геометрическая аргументация была разрушена. Однако он продолжал работать и к ноябрю нашел решение проблемы.

В своих новых вычислениях Ньютон проанализировал движения планет, используя раздел геометрии, изучающий конические сечения. Конические сечения — это кривые, получающиеся, когда плоскость пересекает конус. В зависимости от угла и местоположения сечения вы получаете круг (если плоскость пересекает какой-либо конус под углом в девяносто градусов к его оси), эллипс (если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости), параболу (если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса) или симметрическую двойную кривую, именуемую гиперболой (получающуюся, если плоскость пересекает два идентичных конуса, соединенных вершинами).

В своих расчетах Ньютон сумел показать, что для объекта в системе двух тел, связанных притяжением в соответствии с законом обратных квадратов,[53] единственным возможным замкнутым путем[54] является эллипс с более массивным телом, находящимся в одном из фокусов. В зависимости от расстояния, скорости и отношения масс этих двух тел такие эллипсы могут быть почти окружностями, как в случае Земли, орбита которой отклоняется менее чем на два процента от окружности. Поскольку сила, действующая на два тела, уменьшается при увеличении расстояния, для уравнений, описывающих путь движущегося тела, перемещающегося под влиянием силы обратной квадрату расстояния, решениями будут более вытянутые эллипсы и открытые траектории (параболы или гиперболы). Относительно обсуждаемого практического вопроса Ньютон доказал, что в случае двух тел, одно из которых вращается по орбите вокруг другого, закон обратных квадратов применительно к силе тяготения производит орбиту, которая соответствует коническому сечению и в случае планет нашей солнечной системы является замкнутым эллиптическим путем.