Аль-Бузджани помнят сегодня за его новаторские исследования в геометрии, тригонометрии, математике и астрономии. В геометрии он представил новые способы решения уравнений с компасом и линейкой, выяснил, как выстроить параболу из точек, а также определенные типы восьмиугольников и многогранников. В тригонометрии ему приписывают роль одного из трех исследователей, доказавших теорему синусов, наряду с аль-Ходжанди и его учеником Абу Насром Мансуром Ибн Ираком. Метод разработки таблиц синусов и тангенсов позволил аль-Бузджани добиться результатов, которые оказались точны до восьмого десятичного знака в отличие от трех знаков, бывших у Птолемея. Применив теорему синусов к сферическим треугольникам, аль-Бузджани открыл путь для создания новых методов навигации в открытом море. Помимо разработки многих фундаментальных основ современной тригонометрии, он стал первым математиком, который писал на арабском языке и использовал отрицательные числа – методологию, известную индийцам и китайцам, но отвергаемую греками. Что интересно, он отразил это не в своей теоретической работе, а в учебнике для начинающих – книге «О том, что нужно знать писцам, дельцам и другим в науке арифметике», куда включил отрывок о расчете задолженности.

Аль-Бузджани был также опытным астрономом. В 988 году он построил обсерваторию в дворцовых садах Багдада. У нее был шестиметровый квадрант и восемнадцатиметровый секстант. Возможно, такую же он создал в Кяте. Особенно его интересовали фазы Луны, поскольку мусульманский календарь основан на лунных месяцах. В связи с этим он и изобрел свои таблицы синусов и косинусов, которые использовал, чтобы определить орбиту Луны и отметить склонения определенных звезд. Многие данные из этого исследования он применил в своей новаторской работе по математической астрономии.

Затем аль-Бузджани стал учителем талантливого астронома, математика, знатока тригонометрии, наследника правящего дома Хорезма – Абу Насра Мансура Ибн Ирака (960–1036). Его нельзя назвать ученым-любителем. Работая по тому же принципу в астрономии и тригонометрии, что и его наставник, Ибн Ирак взялся за решение запутанных задач сферической астрономии[761]. Он изучил «Сферику» Менелая Александрийского (70–140), а затем перешел к тригонометрическим вычислениям Птолемея с хордами, в процессе приблизив тригонометрические функции к тем, которые известны нам сегодня. Он также последовал за Бузджани в разработке астрономических и тригонометрических таблиц, уделяя особое внимание уточнению данных, собранных Хаббашем аль-Хасибом из Мерва. Его открытия в области математики значительно упростили поиск количественных решений для задач в сферической астрономии. Кроме написания нескольких трактатов по астролябии, он провел большое исследование по сферической природе неба, которое значительно опережало работы арабских астрономов[762]. Все это явилось непосредственным вкладом в развитие и разработку сферической астролябии, или армиллярной сферы – наиболее применяемого астрономического прибора вплоть до современности.

Упадок Саманидов искушал правителей Хорезма восстановить былое величие своей династии. Но соперничество между потенциальными наследниками престола в Кяте настолько ослабило государство, что конкурирующая династия из Гурганджа стала претендовать на господство. Одновременно появились и два других кандидата-тюрка, которые хотели поучаствовать в борьбе за власть в Хорезме: род Караханидов (современный Кыргызстан) и новая держава с центром в Афганистане во главе с Махмудом Газневи. Но их попытки оказались тщетными. Всех обошел наместник Саманидов в Гургандже Абу Али Мамун ибн Мухаммед: он сверг последнего хорезмийского правителя, отказался подчиняться Саманидам и стал основателем новой династии Мамунидов[763]. Однако Махмуд Газневи, не привыкший к поражениям, объявил, что однажды он сокрушит новую династию Мамуна и установит контроль над Хорезмом.

В 973 году в обеспеченной семье из Кята родился мальчик – Абу Рейхан Мухаммед ибн Ахмед аль-Бируни. Вскоре ребенок осиротел. Благодаря имевшимся семейным связям юного Бируни усыновил наследник хорезмийского правящего дома, воспитывавший его вместе со своим сыном Абу Насром Мансуром Ибн Ираком, которому в то время было 13 лет[764]. Они росли как братья, вместе обучаясь на хорезмийском языке. Ибн Ирак уже изучал астрономию и математику с аль-Бузджани, поэтому для Бируни было естественным последовать его примеру, тем более что он имел сильную склонность к этим областям знаний. Тесные личные и интеллектуальные узы, связавшие Бируни и ибн Ирака, не ослабевали на протяжении всей жизни. В течение последующих пятидесяти лет они посвятили друг другу не менее двенадцати работ (каждый).

К шестнадцати годам Бируни прочел «Книгу путей и держав» саманидского визиря Джейхани и взялся за собственные расчеты широты родного города Кята, которые он вскоре сделал, используя точку максимальной высоты солнца в небе. У него также появился смелый план создать глобус с топографическими особенностями. Эту же идею выдвигал Птолемей в 150 году, и лишь в 1492 году Мартин Бехайм, географ при королевском дворе Португалии, воплотил ее[765]. Глобус Бируни разрушили во время одной из междоусобиц[766].

И глобус, и измерения города отражали острый интерес Бируни к тому, что можно увидеть и измерить. Основательнее, чем какой-либо другой мыслитель Средних веков (на Западе или на Востоке), Бируни изучил труды греческого математика VI веке до нашей эры. Пифагора и действовал согласно его принципу «число есть сущность всех вещей»[767]. Он также не боялся физического труда: он изобрел и сделал трубу для наблюдений за небесными телами. Несмотря на то, что в ней не было линз, она тем не менее фокусировала взгляд на определенном объекте и исключала периферическое зрение. В XVII веке к этому устройству Бируни добавили линзы, и это позволило создать современный телескоп. Он также изобрел машину с восемью шестернями для создания лунного и солнечного календарей. Показательно, что образование Бируни не затрагивало философию и метафизику до тех пор, пока ему не исполнилось 20 лет[768]. Вместо того чтобы останавливаться на абстрактных понятиях, Бируни приступил к работе над одним из своих главных трудов – «Геодезии».