чем быстрее человек схватывает новые идеи, тем он умнее. Правда, вскоре приходится оставить это предположение и прийти почти к полной его противоположности. Глупцы быстро схватывают, точнее, им так кажется, потому что они не способны представить себе трудности, и потому у них нет препятствий, которые приходится преодолевать. Огромная разница между египетскими и вавилонскими математиками, с одной стороны, и греческими математиками, с другой стороны, состоит в том, что первые даже не думали о некоторых из тех трудностей, с которыми пришлось столкнуться грекам.

Можно вспомнить, что примерно в середине века Зенон вместе со своим учителем Парменидом посетил Афины. Наверное, именно в Афинах он встретил таких математиков, как Гиппократ, который тогда пытался уложить геометрические знания в связную систему. Будучи в первую очередь философом и логиком, Зенон ощущал концептуальные трудности, которые никогда не могли бы прийти в голову математикам-практикам (даже греческим!). Они считали, что прямая линия состоит из точек. Как соединить их гипотезу с неразрывностью прямой? Линия – не последовательность точек, или, иными словами, не последовательность дыр; это неразрывное целое. Практикующий математик скажет: точки можно расположить очень близко друг к другу, а дыры сделать сколь угодно маленькими; если расстояние между двумя точками слишком велико, что ж, разделите его на тысячу или миллион частей и представьте в нем дополнительные точки. Логик подумает и ответит: настоящее расстояние между двумя любыми точками не имеет значения; каким бы малым оно ни было, две точки остаются отдельными и отличаются от линии или пространства, которое их соединяет. Сходные различия касались и времени (считать его течение непрерывным или прерывистым?), и движения (перемещения тела из одного места в другое в заданное время). Парадоксальные результаты размышлений Зенона над этими загадками (апории) известны нам через посредство «Физики» Аристотеля. Аристотель называл головоломки Зенона заблуждениями, однако не мог их отвергнуть. Отчасти его мнение нам известно через комментарии Симпликия (VI – 1). Они настолько глубоки, что будоражили умы философов и математиков до наших дней. Такие вопросы настолько тонки, что полное и точное их обозрение займет значительное место. Здесь достаточно рассказать о них в первом приближении. Назовем четыре апории Зенона на тему о движении по классификации Ф. Кэджори (1859–1930): «Дихотомия», «Ахиллес и черепаха», «Летящая стрела» и «Стадион» («Ристалище») – и рассмотрим их вкратце:

1. Дихотомия. Невозможно преодолеть бесконечное количество точек за конечное время. Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому (если пространство состоит из точек) движение никогда не начнется.

2. Ахиллес и черепаха. Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади нее на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползет еще десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, и Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

3. Летящая стрела. Третий довод против возможности движения через пространство, состоящее из точек, заключается в следующем: если следовать этой гипотезе, летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

4. Стадион. Допустим, есть три параллельных ряда точек на противоположных концах стадиона:

Один из рядов (В) неподвижен, тогда как А и С движутся в противоположных направлениях с одинаковой скоростью, чтобы очутиться в положении, представленном на рис. 2. На движение С относительно А потребуется вдвое больше времени, чем на движение С относительно В, иными словами, любая точка С проходит вдвое больше точек А, чем В. Поэтому невозможно утверждать, что единица времени соответствует прохождению от одной точки к другой.

Четыре апории как будто направлены против того, в чем были убеждены современники Зенона (в том числе пифагорейцы и

Эмпедокл) и в чем по-прежнему убеждено большинство людей в наше время: что пространство – это сумма точек, а время – сумма мгновений. Зенон считал, что движение непостижимо на плюралистичной основе.

Демокрит Абдерский

Демокрит родился примерно на 30 лет позже Зенона. Даты его рождения и смерти неизвестны, но мы не очень ошибемся, если скажем, что он родился около 460, а умер около 370 г. до н. э. Отсюда не следует, что математические построения Демокрита позже построений Зенона и что Демокрит был знаком с апориями Зенона. Как бы там ни было, описанные выше или другие алории становились неизбежными, как только начинали думать о неразрывности и бесконечности, а греки – не один из них, но многие – именно этим и занимались. В каталоге работ Демокрита, изданном Диогеном Лаэртским (III – 1), перечислены пять математических сочинений: 1) «О соприкосновении круга и шара»; 2) и 3) труды по геометрии; 4) «Числа»; 5) «Об иррациональных линиях и телах». К последнему пункту мы еще вернемся, когда будем обсуждать соответствующую тему. Если допустить, что в первом труде речь идет о соприкосновении шара и касательной плоскости, это наводит на мысли о бесконечно малом угле. Если задуматься о более простом случае (как, вероятно, поступил Демокрит) об угле между кругом и плоскостью, тут же проявятся свойственные данной задаче трудности. Во-первых, необходимо дать определение касательной. Демокрит обладал достаточно острым умом, чтобы понять, что у касательной и круга есть лишь одна общая точка, хотя это невозможно отобразить на рисунке. Затем необходимо подумать об угле. Он должен быть необычайно малым, потому что, если повернуть касательную вокруг точки соприкосновения, она коснется второй точки круга и перестанет быть касательной.

Платон игнорировал Демокрита, зато Аристотель очень тепло отзывался о его идеях относительно перемен и роста. Столетие спустя Архимед ссылался на величайшее математическое открытие Демокрита: что объем конуса и пирамиды равен соответственно 73 объемов цилиндра и призмы, имеющих ту же площадь основания и ту же высоту; он, правда, добавлял, что теоремы Демокрита доказаны не им, а (позже) Евдоксом. Как Демокрит сделал свое открытие? Вероятно, он воспользовался несовершенным и интуитивным методом компоновки, разрезав пирамиду (или конус) на большое количество параллельных слоев. К этому мы вернемся, когда будем обсуждать открытие Евдокса и применение метода перебора.

Начала перспективы в применении к сценографии Витрувий приписывал Демокриту, а также Агатарху и Анаксагору. Его предположения правдоподобны, но не доказаны. Ясно, что проблемы перспективы приходилось решать сценографам, но достойные ответы можно было найти эмпирическим путем.

Гиппократ Хиосский

Мы подошли к величайшему математику своего века, первому человеку,