который прославил имя Гиппократ. Почти каждый образованный человек знаком с этим именем, но в первую очередь вспоминает другого человека – отца медицины Гиппократа Косского. Имя Гиппократ в Греции встречается довольно часто, но примечательно, что два самых ярких его носителя были современниками и родились на одной и той же группе островов, Спорады, расположенных неподалеку от побережья Малой Азии. Математик, который был старше, родился на Хиосе и жил в Афинах в третьей четверти V в. Врач принадлежал к следующему поколению; он был еще ребенком, когда математик находился в расцвете сил. Пик его деятельности пришелся на рубеж веков. Он родился на острове Кос (остров из группы Додеканес, или Южные Спорады). Мы уделим ему должное внимание в следующей главе, сейчас же необходимо было его просто представить и ненадолго поставить рядом с его старшим современником. Очень надеюсь, что читатели этой книги запомнят: Гиппократов было два, и их достижения равно выдающиеся, но настолько различны, что сравнивать их невозможно. И хотя нельзя сказать, что второй Гиппократ более велик, чем первый, однако большинство людей помнят именно его, а его старшего современника забыли.

Итак, Гиппократ пришел в Афины примерно в середине века; традиционно считается, что причиной его отъезда с родины стала потеря владений и попытка их вернуть. По одной легенде, он был купцом, чей корабль захватили пираты; по другой (которую рассказывает Аристотель), он был геометром, у которого сборщик пошлин в Византии отобрал много денег «из-за его глупости». Конечно, математиков (от Фалеса до Пуанкаре) часто обвиняют в том, что они не приспособлены к повседневной жизни, но такие легенды любопытны в другом отношении. Они помогают мельком взглянуть на другие стороны жизни в Древней Греции: купцы, пираты, коварные таможенники… Очевидно, Гиппократ вначале был не только математиком, но и купцом. Подобное сочетание не было чем-то несовместимым. Потеряв имущество, он посвятил себя математике и одним из первых стал учить за деньги. В самом деле, почему бы и ему не просить плату за свой труд, как софистам? Возможно, и он называл себя софистом, хотя специализировался на математике.

Прежде чем переходить к его трудам, необходимо вспомнить еще одну легенду, очень типичную для интеллектуального климата того времени. Афинских математиков тогда занимали три знаменитые задачи: 1) квадратура круга; 2) трисекция угла; 3) удвоение куба. Как возникли три эти задачи? Первая очень древняя. В то время невозможно было знать, что точного ее решения не существует. Две другие задачи не столь обычны. Что касается третьей задачи, распространялось по меньшей мере две легенды, которые приписывают Эратосфену. Достаточно пересказать одну из них. Оракул велел жителям Делоса, страдавшим от чумы, увеличить вдвое некий алтарь, имевший форму куба; поэтому задача по-другому называется делосской или делийской. Легенда имеет все черты придуманной постфактум, и, насколько мне известно, ни на Делосе, ни в других местах никогда не было кубического алтаря. Более простое объяснение заключается в том, что некоторые математики наверняка желали обобщить задачу из области планиметрии. Для того чтобы удвоить квадрат, достаточно построить новый квадрат на диагонали первого. Нельзя ли найти сходное правило для куба? Задача оказалась не столь простой, как выглядела вначале. Выделение трех задач из бесконечного множества остальных – еще одно доказательство гениальности греков, ибо все они сочетали внешнюю простоту с внутренне присущими трудностями очень высокого порядка. Их можно решить лишь приблизительно; вторую и третью задачу невозможно решить простыми геометрическими способами (то есть с помощью линейки и циркуля). Тем не менее греческие математики V в. предложили теоретические решения.

Гиппократ не занимался второй задачей, но благодаря ему мы имеем неполные решения первой и третьей. Его попытки найти квадратуру круга привели его к открытию так называемых луночек – серповидных фигур, ограниченных двумя дугами окружностей. Он нашел три (из пяти) вида луночек, для которых можно построить равновеликий квадрат, но решить задачу в общем виде ему не удалось. Открытие Гиппократа доказывало, что по крайней мере некоторые криволинейные фигуры поддаются квадрированию.

Рис. 57. Луночки Гиппократа Хиосского

Вот простейший пример Гиппократовых луночек. Представьте полусферу АВС, вписанную в полукруг с центром О (рис. 57). Проведем еще один полукруг, взяв диаметром АВ. Два полукруга относятся друг к другу как квадраты их диаметров: АС2 = 2АВ2. Поэтому половина большего полукруга равна меньшему. Уберите сегмент, общий для обоих, и оставшиеся области, а именно луночка и треугольник АВО, равны.

Это достаточно просто, однако подразумевает знание теоремы, по которой круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров[52]. Если Гиппократ нашел площадь этой луночки, следует допустить, что теорема была ему известна. Возможно, он знал ее интуитивно; по мнению Евдема, он мог ее доказать, но, если так, нам неизвестно, как он ее доказывал.

Труды Гиппократа по квадрированию луночек очень важны в другом отношении: это не только фрагмент эллинской (доалександрийской) математики, которая дошла до нас во всей своей целостности, хотя передавалась лишь косвенно и очень медленно. Работа Гиппократа была включена в историю геометрии Евдема (IV – 2 до н. э.), сохранилась в комментарии Симпликия к Аристотелевой физике (VI – 1). Между последним и Гиппократом прошла почти тысяча лет! Вот лишнее доказательство того, как мало нам известно о древнегреческой математике и каким осведомленным должен быть историк.

Решение Гиппократом третьей задачи, удвоения куба, также интересно своими последствиями, ибо оно доказывает, что он знал сложные пропорции. Это знание пришло от чисел и интуитивно перешло на линии.

Если принять сторону данного куба за а, необходимо вычислить х, чтобы х3 = 2а3. Задача решается нахождением двух средних пропорциональных в непрерывной пропорции между а и 2а: а/х =х/у = у/2а; тогда х2 = ау, у2 = 2ах; отсюда х4 = 2а3х, или х3 = 2а3.

К середине V в. до н. э. было сформулировано столько геометрических теорем и решено столько задач, что все насущнее становилось требование расположить все эти данные в строгом логическом порядке. Это подразумевало не только классификацию уже полученных результатов, но, что еще важнее, упрочение доказательств. Во многих случаях (что проиллюстрировано выше теоремой Евклида) знание было интуитивным или доказательство, если оно и было найдено, не удалось передать потомкам. Если поставить каждую задачу на свое логическое место, пробелы обнаружатся сразу. Геометрическое здание, насколько его можно возвести, было бы прочнее, и можно было с большей определенностью понять, что делать, чтобы довести строительство до завершения и логического совершенства. Похоже, что Гиппократ одним из