Разброс распределения данных

Свести распределение к единственному числу недостаточно – нужно иметь представление о разбросе данных (рассеивании, отклонении от среднего). Например, знание среднего размера обуви взрослого мужчины никак не поможет обувной фабрике определить, сколько пар обуви каждого размера производить. Один размер не годится для всех, что прекрасно иллюстрируют пассажирские кресла в самолетах.

В табл. 2.1 приведены статистические данные для выборки по драже. Она предлагает три способа демонстрации разброса. Естественный вариант – размах[48], однако он крайне чувствителен к экстремальным значениям, таким как весьма странное предположение о наличии в банке 31 337 драже[49]. Напротив, на интерквартильный размах такие выбросы не очень влияют. Интерквартильный размах – это разность между третьим и первым квартилем (то есть 75-м и 25-м процентилем); иными словами, сюда входит «центральная половина» всех чисел, в нашем случае – от 1109 до 2599 драже. Ящик на диаграмме типа «ящик с усами» как раз и включает интерквартильный размах. Наконец, в качестве меры разброса широко используется стандартное (среднеквадратичное) отклонение. Но поскольку его сложнее вычислять и оно сильно подвержено влиянию выбросов, оно лучше всего подходит для симметричных и хорошо себя ведущих данных[50]. Например, удаление из выборки одного (почти гарантированно ошибочного) числа 31 337 приводит к уменьшению среднеквадратичного отклонения с 2422 до 1398[51].

Таблица 2.1

Характеристики выборки для 915 предположений о количестве драже в банке. Истинное число равно 1616

Толпа в нашем маленьком эксперименте продемонстрировала значительную мудрость, даже несмотря на несколько странных ответов. Это показывает, что, хотя данные часто включают ошибки, выбросы и другие странные величины, их вовсе не обязательно выискивать и исключать. Кроме того, это указывает на полезность использования характеристик выборки, на которые не влияют даже столь эксцентричные наблюдения, как 31 337. Такие характеристики называются робастными (то есть устойчивыми) и включают медиану и интерквартильный размах. Наконец, эксперимент подчеркивает ценность обычного просмотра данных – урок, который будет подкреплен следующим примером.

Разница между группами чисел

Цель этого вопроса вовсе не любопытство относительно личной жизни людей. Когда в 1980-х годах обозначилась вся серьезность проблемы СПИДа, представители организаций здравоохранения Великобритании осознали, что не располагают достоверными данными о сексуальном поведении в стране, в частности о частоте смены партнеров, количестве людей, имеющих одновременно нескольких партнеров, а также об используемых сексуальных практиках. Такая информация была необходима для прогнозирования распространения болезней, передающихся половым путем, и планирования медицинских услуг. Однако люди все еще пользовались данными Альфреда Кинси для США 1940-х годов, а он не пытался получить репрезентативную выборку.

В конце 1980-х в Великобритании и США, несмотря на противодействие определенных кругов, были проведены масштабные, дорогостоящие и тщательные исследования сексуального поведения. И хотя Маргарет Тэтчер в последний момент отказалась поддержать работы по изучению сексуальных привычек в стране, к счастью, ученые смогли найти благотворительное финансирование, и в результате каждые 10 лет после 1990 года проводят Национальное исследование сексуальных отношений и образа жизни (Natsal).

Третье исследование (Natsal-3) проводилось в 2010 году и обошлось в 7 миллионов фунтов стерлингов[52]. В табл. 2.2 представлены сводные данные из Natsal-3 о количестве сексуальных партнеров (противоположного пола), о которых сообщили люди в возрасте от 35 до 44 лет. Хорошее упражнение – использовать эти сведения, чтобы самостоятельно реконструировать, как могут выглядеть данные. Отметим, что наиболее часто встречающееся значение (мода) – это 1, то есть группа людей, у которых за жизнь был всего один партнер, по-прежнему велика. В таблице также отражены принципиальные различия между средними арифметическими и медианами, что говорит о распределениях с длинным правым хвостом. Среднеквадратичные отклонения велики, и это не лучшая мера разброса из-за неоправданно сильного влияния нескольких чрезвычайно больших значений в выборке.

Таблица 2.2

Сводные статистические данные о количестве сексуальных партнеров (противоположного пола) за всю жизнь, согласно ответам 806 мужчин и 1215 женщин в возрасте 35–44 лет, участвовавших в опросе Natsal-3 в период с 2010 по 2012 год. Среднеквадратичное отклонение включено для полноты картины, хотя и не является удачной характеристикой при таком разбросе данных

При сравнении ответов мужчин и женщин можно отметить, что у мужчин партнеров больше, чем у женщин – как по выборочному среднему (около 6), так и по медиане (3). Или, если воспользоваться относительными показателями, число партнеров, которое сообщают мужчины, примерно на 60 % больше, чем у женщин – как для выборочного среднего, так и для медианы.