В случае с розовыми кубиками их грани увеличиваются в соответствии с натуральным рядом чисел. То есть первый кубик имеет грань размером 1 см, второй – 2 см, третий – 3 см и так далее до десятого куба, грань которого равна 10 см. Поэтому соотношение их объемов такое же, как и ряд величин третьей степени чисел от 1 до 10, то есть 1: 8: 27: 64: 125: 216: 343: 512: 729: 1000. Ведь чтобы получить объем второго розового куба, понадобится восемь маленьких первых кубов. А чтобы получить третий куб, понадобится двадцать семь вторых и т. д.

Дети обладают интуитивным пониманием этой разницы, так как они знают, что упражнение с розовыми кубиками – самое легкое из этих трех, а с планками – самое сложное. Чтобы приступить к непосредственному изучению чисел, нам понадобятся длинные планки, но теперь мы видоизменяем их, разделяя на десять равных частей: каждая имеет по 10 см в длину и выкрашена полосами в красный и синий цвет. Например, сразу будет видно, что планка, которая в четыре раза больше первой, поделена на четыре равные части, красные и синие, и точно так же будут выглядеть все остальные.

Разложив планки по степени возрастания их длины, мы показываем детям числа: 1, 2, 3 и т. д., дотрагиваясь до планок по порядку, от первой до десятой. Затем, чтобы помочь ребенку получить ясное представление о числе, мы продолжаем учиться различать отдельные планки с помощью обычных трех этапов.

Рис. 28. Схема, иллюстрирующая использование планок для изучения цифр

Мы выкладываем перед ребенком первые три планки и, показывая на них или беря в руку по очереди, говорим: «Это – один. Это – два. Это – три». Мы показываем пальцем на деления на каждой планке и пересчитываем их так, чтобы убедиться: «Один, два: это два. Один, два, три: это три». Затем мы говорим ребенку: «Дай мне два. Дай мне один. Дай мне три». Наконец, указывая на планку, спрашиваем: «Что это?» Точно так же мы показываем детям все остальные планки по порядку, добавляя каждый раз одну или две, в зависимости от способностей ребенка.

Важность этого дидактического материала состоит в том, что он дает ясное представление о числе. Потому что, когда число получает свое название, оно существует как самостоятельный предмет, целое. Когда мы говорим, что у человека есть миллион, мы имеем в виду, что у него есть состояние, которое состоит из большого количества единиц ценностей. И все эти единицы принадлежат одному человеку.

Так, если складывать 7 и 8 (7+8), мы добавляем число к числу, и эти числа по четко установленным правилам представляют собой группы однородных единиц.

Опять же, когда ребенок показывает нам цифру 9, он держит в руке единую планку – целый предмет, состоящий из девяти одинаковых частей, которые можно сосчитать. И потом, когда ему нужно будет прибавить 8 к 2, он положит рядом две планки, два предмета, один из которых состоит из восьми одинаковых частей, а другой из двух.

С другой стороны, в обычных школах, чтобы детям было легче научиться считать, им предлагают считать разные предметы, например бобы, палочки и т. д. Если, взяв пример, о котором я говорила (8+2), ребенок берет восемь палочек и прибавляет к ним еще две, естественное впечатление, которое складывается у него голове, – не то, что он добавил 8 к 2, а то, что он сложил 1 + 1+1 + 1 + 1+1 + 1+1 и 1 + 1. Результат не такой наглядный, и ребенку нужно приложить усилия, удерживая в голове мысль о том, что группа из восьми предметов – это единое целое, соответствующее одной общей цифре, 8.

Это усилие часто задерживает ребенка, замедляет его понимание чисел на месяцы или даже годы.

Сложение и вычитание чисел до 10 тоже будет даваться ребенку намного быстрее, если использовать дидактический материал для изучения длины. Предложите ребенку интересную задачу – как выложить предметы так, чтобы получился набор планок, по длине равных самой длинной из них. Сначала он расставляет планки в их правильном порядке по убыванию (длинной лесенкой). Затем он берет последнюю планку (1) и кладет ее рядом с 9. Затем он берет планку, следующую за первой (2), и кладет ее рядом с 8 и так далее до 5.

Эта очень простая игра демонстрирует сложение чисел до десяти: 9+1, 8+2, 7+3, 6+4. Затем, когда ребенок раскладывает планки назад на свои места, он должен сначала убрать 4 и положить ее назад рядом с 5, потом убрать в свою очередь 3, 2, 1. Таким образом, он снова раскладывает планки в их правильной последовательности и одновременно выполняет вычитания 10 – 4, 10 – 3, 10 – 2, 10 – 1.

Изучение цифр характеризует переход от планок к счету различных предметов. Когда цифры уже известны, они начинают служить той самой абстрактной цели, которую планки воплощают конкретно. Таким образом, цифры займут место планок для того, чтобы объединять в единое целое некоторое количество отдельных единиц. Синтетическая функция языка и широкое поле, которое язык открывает для интеллектуальной работы, проявляется в том, что можно было бы назвать функцией цифры, которая в данный момент заменяется конкретными планками.

Использование этих планок ограничит знания арифметики только несложными вычислениями в пределах десяти или чуть дальше. Эти вычисления лишь ненамного продвинут вперед развитие разума, выйдя за пределы, заданные первыми простыми упражнениями на воспитание чувств. Именно цифра, которая, как и буква, является графическим символом, может дать толчок тому бесконечному движению вперед, которое проделал математический разум человека.

Среди дидактического материала есть коробка, содержащая гладкие карточки, на которые наклеены вырезанные из шероховатой бумаги цифры – от одного до девяти. Эти карточки похожи на те, на которые наклеены шероховатые буквы алфавита. И метод их изучения точно такой же. Ребенок проводит пальцами по шероховатой поверхности цифр, чтобы понять, как они пишутся, и одновременно с этим произносит их название. Однако в данном случае ребенок делает больше, чем тогда, когда учил буквы. Он будет учиться раскладывать цифры на соответствующие им планки.

Когда ребенок выучит все цифры, он приступает к первому упражнению. Нужно разложить карточки на планки, выстроенные в порядке возрастания. Собранные таким образом планки выглядят как лесенка, на которую очень удобно раскладывать карточки. И ребенок может очень долго сидеть, повторяя эту умную игру.

После этого начинается то, что мы называем самостоятельностью ребенка. Он носит свои цифры с собой и, используя их, может теперь раскладывать предметы по группам. Для этой цели в нашем дидактическом материале есть набор деревянных палочек. А в дополнение к ним мы даем ребенку разного рода маленькие предметы – маленькие кубики, фишки и т. д.