175-178; Patzer A. Der Sophist Hippias als Philosophiehistoriker. München 1986, 108 f.

522

Fritz К. von. The Discovery of Incommensurability by Hippasos of Metapontum, Annals of Mathematics 46 (1945) 259.

523

Интересно, что еще в начале XX в. Цейтен писал: «Трудно найти какой-нибудь смысл в утверждении Евдема, будто Фалес доказал, что диаметр делит круг на две равные части: в те времена вовсе не считали необходимым доказывать столь очевидную вещь» (Zeuthen Η. G. Die Mathematik im Altertum und im Mittelalter. Leipzig 1912, 35).

524

Stenius E. Foundations of Mathematics: Ancient Greek and Modern, Dialectica 32 (1978) 258.

525

Vogel К. Vorgriechische Mathematik. Hannover 1958-1959. Т. I, 72; Т. II 23 η. 2, 39 η. 4. Известное деление круга на 360 градусов появилось в вавилонской астрономии не ранее III в. (Neugebauer. ES, 25). См. также: Szabo Α., Maula Ε. ΕΓΚΛΙΜΑ. Untersuchungen zur Frühgeschichte der antiken griechischen Astronomie, Geographie und Sehnentafeln. Athen 1982, 189 ff.

526

Gands S. The Origin of Angle-Geometry, Isis 12 (1929) 452-482.

527

Heath. Euclid I, 352; Gillings R. J. Mathematics in the Time of Pharaohs. Cambridge 1972, 238, 242.

528

Gands S. Die Harpedonapten oder Sielspanner und Sielknüpfer, Q&S 1 (1930) 255-277; Vogel. Op.cit. I, 59 n. 4.

529

О некоторых следах влияния на астрономию см. ниже IV,4.1.

530

Первое упоминание о заимствовании Пифагора из математики Вавилона мы находим у Ямвлиха (In Nicom. 118.23 f), который писал, что философ вывез оттуда «музыкальную пропорцию», т. е. 12:9 = 8:6. Между тем у вавилонян не было даже понятия пропорции: Becker О. Frühgriechische Mathematik und Musiklehre, AfM 14 (1957) 156-164.

531

Neugebauer. ES, 147.

532

Евдем приписывал приложение площадей «пифагорейской музе» (fr. 137), имея в виду пифагорейских математиков первой половины V в.

533

Zeuthen Η. G. Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum. Kopenhagen 1886, 6 ff.

534

Szabo A. The Beginnings of Greek Mathematics. Dordrecht 1968, 332 ff; Un-guru S. On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics, AHES 15 (1975) 67-114; idem. History of Ancient Mathematics, AHES 70 (1979) 555-565; Mueller J. Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclids Elements. Cambridge 1981, 170 f, 179; Unguru S., Rowe D. E. Does the Quadratic Equation Have Greek Roots?, Libertas Mathematica 1 (1981) 1-49.

535

Vogel. Op.cit. II, 12 n. 3; Gericke H. Mathematik in Antike und Orient. Berlin 1984, 43; Hoyrup. Mathematics, 52 ff.

536

Зайцев. Культурный переворот, 177. Отметим, что недавно Хойруп предложил новую, более «геометрическую» трактовку вавилонских задач (H0yrup J. Algebra and Naive Geometry. An Investigation of Some Basic Aspects of Old Babilonian Mathematical Thought, Altorient. Forschungen 17 [1990] 27-69, 262-354). Если это и приближает нас к лучшему пониманию вавилонских методов, то никак не делает их более доступными для восприятия греков.

537

Березкина Э. И. Математика Древнего Китая. Москва 1980, 11, 255.

538

См. ниже, IV,2.3.

539

Neugebauer. ES, 36 ff.

540

Противоположная точка зрения в ее наиболее крайнем варианте выражена в недавней книге ван дер Вардена, нашедшего общую основу всех пяти математик древности в культуре мегалитических памятников Ш-начала II тыс. до н.э. на территории Британии (Waerden В. L. van der. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Berlin/New York 1983).

541

Ср.: Waerden B. L. van der. On Pre-Babylonian Mathematics, AHES 23 (1980) 19 ff.

542

См.: Hahn. Op.cit., 116 ff.

543

Mugler Ch. Dictionnaire historique de la terminologie geometrique des grecs. T. I-II. Paris 1958-1959.

544

Этот мотив Хойруп считает одним из важнейших стимулов в развитии вавилонскими писцами все более сложных типов вычислений (Hoyrup. Mathematics, 48).

545

Начало этого процесса относится еще к концу VI-первой половине V в. См.: van der Waerden. Postulate, 357.

546

Szabo. Beginnings, passim. См. также: Burkert, 425; Philip, 200.

547

1,4; 1,8. См.: Heath. Euclid I, 225 f.

548

Becker О. Das mathematische Denken der Antike. Göttingen 1966, 38 f; Neuenschwander Ε. A. Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids, AHES 9 (1973) 353 f. Упоминаемое в «Метафизике» (1051 а 26) доказательство, вероятно, также принадлежит Фалесу.

549

Van der Waerden. Science, 135.

550

Van der Waerden. Postulate, 343 ff. Об этом писали и раньше: Tannery. Geomerie, 81; Rey A. Les mathematiques en Grece au milieu du Ve siecle. Paris 1935, 58 ff. См. также: Heath. Mathematics I, 165 ff. Такая реконструкция подтверждается и историческими свидетельствами о близости Гиппократа к пифагорейцам (42 А 5; Iam. Comm. math, sc., p. 78.1).

551

Gomperz. Griechische Denker, 139. См. также: Heiberg I. L. Naturwissenschaften und Mathematik im klassischen Altertum. Leipzig 1912, 10; Burnet, 69; Rey: Jeunesse, 191, 202 f; Reidemeister K. Das exakte Denken der Griechen. Leipzig 1949, 10; Cherniss. Characteristics, 336; Taran L. Parmenides. Princeton 1965, 4.

552

Зайцев. Культурный переворот, 182 сл.

553

Убедительную критику тезиса Сабо см.: Knorr W. R. On the Early History of Axiomatics: The Interaction of Mathematics and Philosophy in Greek Antiquity, J. Hintikka, ed. Theory Change, Ancient Axiomatics and Galileo Methodology. V. I. Dordrecht 1981, 145 ff.

554