— Есть обратные функции, есть обратные операции, есть обратные или некорректные задачи. Кстати, такие задачи одни из самых трудных. Для иллюстрации. Задача вычисления траектории пули при заданных условиях, — скорость пули, угол стрельбы, сила ветра, — прямая. Восстановление или вычисление тех же самых параметрах по результату, — застрявшей в мишени пули, — обратная задача. И как вы понимаете, она на порядок сложнее прямой.

— Понимаете? Обратный процесс всегда труднее. Это как спиной вперёд ходить.

Улыбаются.

— Что такое сложение? Прямая операция. При её применении к натуральным числам никаких сложностей не возникает. Складываем два натуральных числа — получаем натуральное число. Обратная же операция, вычитание, сразу вынуждает нас либо накладывать ограничение, — уменьшаемое должно быть больше вычитаемого, — либо расширять множество натуральных чисел до целых. Обратная операция вычитания заставляет нас добавлять к натуральным числам отрицательные для расширения до множества целых чисел.

— Практически то же самое происходит с умножением и делением. Прямой и обратной операцией. Умножение не прибавляет нам проблем, а вот деление… о-о-о! Оно заставляет нас опять расширять множество целых чисел до дробно-рациональных. И мы мучаемся дробями с пятого класса! Вот что делают обратные операции! И как только мы надеваем на них узду в виде универсальной десятичной записи, появляется возведение в степень, а за ней маячит извлечение корней! — Мой голос пропитан страданием и трагизмом. Девочкам особенно такое нравится.

Математик тоже слушает внимательно. Не забываю что-то рисовать на доске. Сейчас это квадратный корень из двух.

— И нам приходиться опять… — хватаюсь за голову, — вводить новые числа. Иррациональные. Но это не всё! Приходится, всё-таки приходиться ограничивать подрадикальные числа только положительными значениями. Иначе возникают мнимые и комплексные числа, которые изучаются специальной теорией.

— Даже говорить не хочу о том, какие проблемы нас ждут с обратными функциями. Боюсь представить.

Народ проникается, девочки заранее пугаются.

— Но не всё так плохо. Всё основывается на крайне простом определении обратной функции.

Пишу на доске и подчёркиваю: если x = g(f(x)), то g(x) — обратная к f(x) функция. И несколько примеров: возведение в квадрат квадратного корня и наоборот, умножение на число и деление на то же самое число. Ну, и хватит. Показательных функций и прочих логарифмов мы ещё не проходили.

— А что из этого элементарного определения можно выкрутить, нам сейчас и расскажет Сергей Викторович. Например, о симметрии графиков обратных функций и прочих замечательных вещах. Мы, кстати говоря, незаметно переместились из привычного пространства чисел и операций над ними в сложный и крайне интересный мир функций. То есть, прошу заметить: функции это новый класс объектов. До этого мы уже встречались с объектами, отличными от чисел. Это вектора с их особыми свойствами. Помните? Скалярное произведение, векторное произведение, произведение на число. Только произведений целых три вида, а вот деления, возведения в степень и прочих ужасов нет. Так что слава векторам!

Кое-как математик меня унимает.

— Тебя не заткнёшь… — бурчит он.

— Настоящему мужчине всегда есть, что сказать, — замечаю, усаживаясь на своё место под веселье всего класса.

Настроение класса поднимается, а это, между прочим, благоприятный эмоциональный фон для усвоения даже трудных тем.

30 октября, городской спорткомплекс, время 10:05

— Команде четырнадцатой школы наш физкульт — Привет! — Гаркаем дружно и весело моим друзьям из старой школы.

Пётр Фомич отрывается на мне по полной. Зарядил уже и на беговые соревнования и в школьную баскетбольную команду включил. И не возражал бы особо, если бы не. Если б мне не надо было готовиться к Всероссийской олимпиаде, ни грамма не был бы против. Но если так частить со спортом, то как быть с ежеутренним тренажём с задачами? Их и так школьные занятия срывают. Учёба в современной школе организована крайне неудачно с точки зрения режима дня. Часов до одиннадцати-двенадцати никаких активных предметов вроде физкультуры и трудов быть не должно. Первый урок лучше разминочный, биология или география. Вторым, третьим и четвёртым уроком: математика, физика, химия, русский и иностранный, то есть, самые тяжёлые предметы.

Вот идеальный сферический конь в вакууме. Именно так выглядит идеальное расписание. Только как проводит физкультуру исключительно пятым и шестым уроком для всех классов? Выводить одновременно на стадион человек двести? Спортзала точно не хватит, да и стадион не резиновый.

Ладно, это всё выкрутасы моего мозга, приученного к предельным оборотам именно в это время. Для себя-то именно такое расписание и составил. Поэтому на второстепенных предметах вроде географии обычно решаю задачи или прокручиваю в голове темы по физике и математике. Изредка удаётся незаметно заглянуть в учебник. Не географический или биологический, разумеется.

Надо бы мне предупредить физкультурника кое о чём…

— Колчин! А ты куда⁈ — Бьёт мне в спину окрик физкультурника. Мне до скамеек осталось всего два шага, ну, два прыжка. Только оказавшись среди своих друзей, — Кати, Зины, Сверчка, Викеши и фрейлин, — разворачиваюсь, одновременно бросая зад в сиденье.

Передо мной грозный лик Петра Фомича. И ведь предупреждал его. Не внял.

— Не могу играть, Пётр Фомич, — гляжу в разгневанные глаза безмятежно, — руку повредил.

Помахиваю расслабленной кистью. Левой.

— Мне что, Сутыгина вместо тебя ставить⁈ — Не обращает внимания на мои отговорки. Зря.

— Да кого ни ставьте, всё равно проиграем, — мои слова отзываются хихиканьем наших девочек.

— Пётр, чего шумим? Играть твои будут или нет? — Подходит ещё один мой физкультурник. Бывший. Игорь Палыч. Чем-то они похожи. Наверное, все физруки похожи друг на друга. Как все военные.

Приходится всё-таки Петру Фомичу ставить замену. Отказываюсь играть напрочь. Сразу ему говорил, как только он включил меня в школьную команду: играть против четырнадцатой школы не буду. Никогда.

— Вы поймите, Пётр Фомич, — убеждал я, — это моя команда и мои друзья. Непроизвольно им пас отдавать буду. Могу даже в наше кольцо мяч закинуть. На рефлексах. Сигнализация «свои-чужие» откажет.

Вроде понял, но после первой игры, когда мы разнесли противника в пух и прах, возбудился классом игры и забыл.

— Подожди, Кать, — останавливаю готовую вылить на мою голову поток словесей подружку, — в перерыв поговорим…

Слегка дует губки, но отстаёт. Придумал, чем занять простаивающую голову. Нарисовал в воображении картинку-таблицу. Отмечаю каждый бросок в корзину и отдельно — результативный. Процесс требует сосредоточения и внимания. Давно научился визулизировать в мозгу инфу. Не зря же рисованием занимаюсь… кстати, давно не брал рисовальный карандаш в руки. Целых две недели. Надо возобновлять.

— А вот теперь можно, — отмираю с началом перерыва, — пиши, Кать.

Девочка фыркает, но вытаскивает из сумочки блокнот с ручкой.

— Четырнадцатая школа: двенадцать бросков, девять результативных… в табличку пиши! — Отбираю карандаш и рисую таблицу.

— Девять попаданий, одно… в скобках пиши! Одно — трёхочковое.

— Восьмая школа: девять бросков, пять попаданий. Трёхочковых нет, в скобках ноль ставь.

— Вот теперь можно поговорить, — стираю таблицу из памяти.

К нам подходят взмыленные, но довольные игроки. Димон, Эдик и Паша — одноклассники. Именно к игровым видам спорта Паша вдруг обнаружил большую склонность.

— Видал, как мы ваших разнесли, — Димон лучится самодовольством.

— Нет, это наши кого-то там разнесли, — поправляю. Народ смеётся.

— Не, ну серьёзно, — заводится Димон, — думаешь, если бы ты играл, ваша команда выиграла бы?

— А я б тебе крикнул на площадке «Димон! Мне!» и чтоб ты сделал? — Ехидненько-ехидненько так спрашиваю.

Дружок зависает с открытым ртом, народ веселится вовсю. Система распознавания «свой-чужой» не только ведь у меня была бы сбита.

Над залом проносится, бьётся в гигантскую крышу и возвращается вниз пронзительный звук свистка. Перерыв кончился. Команды возвращаются на поле. Мои друзья с довольным и предвкушающим видом, мои однокашники — с обречённым. Включаю таблицу.

— Чего тебе? — Пётр Фомич всё недовольничает и говорит через губу. Не обращаю внимания. Взрослый человек, а обижается, как ребёнок.

— Я результаты снял. Результативность игры, — протягиваю листок.

Берёт. Думает. Гмыкает. Недовольство потихоньку покидает его лицо, уступая место задумчивости.

Такой же листок Катя отдаёт Игорю Палычу.

Домой ухожу вместе с друзьями. На прощание сказав однокашникам, чтобы не огорчались.

— Радуйтесь, что не всухую проиграли, парни. Им все проиграют, за второе место только можно бороться, — о том, что их я когда-то тренировал, умалчиваю. Не из скромности. Мне