В середине XVII века еще не было известно дифференциальное и интегральное исчисление — основа многих теорий в современной науке. Геометрический способ мышления был нормой того времени, и задача о квадратуре круга завладела умами людей. Пожалуй, ни одну другую математическую задачу не пытались решить так упорно. Люди соревновались друг с другом. Journal des Savants даже поместил заметку, что одна «молодая леди без колебаний отказалась выйти замуж за весьма достойного молодого человека только потому, что он якобы не смог за определенное время предложить какую-либо идею решения задачи о квадратуре круга».

Интерес к квадратуре круга все возрастал, подогреваемый развитием новой науки Галилея. Но в основном невероятное количество попыток разрешить эту головоломку предпринималось теми, кто имел весьма скудные математические познания и не способен был понять бессмысленность усилий. Устав от нескончаемого потока подобных решений, и Лондонское Королевское общество, и Парижская академия наук еще в XVIII веке отказались принимать их на рассмотрение.

Среди пытавшихся решить эту задачу был и Гоббс. Его проблема заключалась в том, что он подчеркивал, что выводит свои философские умозаключения из математических. Если бы Валлис смог доказать абсурдность математических умозаключений Гоббса, то, естественно, потеряло бы всякий смысл и его философское учение.

Позднее Валлис объяснил свой замысел в письме к голландскому физику и астроному Христиану Гюйгенсу (датировано 1 января 1659 года).

Позднее Валлис признался, что сначала он испытывал злость, потом радость и в конце жалость. Однако мало было жалости в уничижительном памфлете, который он опубликовал на латыни спустя три месяца после появления трактата «О теле». Он назывался Elenchus Geometriae Hobbianae. Elenchus — сократический метод нахождения истины с помощью перекрестных вопросов. В этом памфлете Валлис резко критикует термины, которыми оперирует Гоббс, а также его методы изложения. Он шаг за шагом мастерски препарирует аргументацию Гоббса, то грубо высмеивая, то серьезным тоном указывая на ошибки. Он писал об импульсивности и надменности Гоббса и об опасности, которую тот представлял для церкви. Валлис даже умудрился посмеяться над именем Гоббса, используя игру слов hop (скакать, англ.) и hobgoblin (страшилище, англ.).

Кто-либо другой на месте Гоббса сразу бы сдался под напором железных аргументов Валлиса, но Гоббс избрал лучший способ защиты — нападение. Он добавил гневное приложение к английскому изданию трактата «О теле», который благодаря критике Валлиса стал раскупаться в два раза быстрее. Приложение называлось «Шесть уроков профессорам математики». Ни у кого не возникало сомнений, что этими профессорами были Валлис и Уорд. В предисловии Гоббс написал: «В главах с седьмой по тринадцатую моей книги «О теле» я дополнил и разъяснил основы этой науки [геометрии], т.е. проделал работу, за которую доктор Валлис получает деньги».

В этом приложении Гоббс ссылается не только на Elenchus Валлиса, но и на две другие книги математика, «несостоятельность которых я четко и ясно доказал. И я твердо убежден, что от начала существования мира не было, да и никогда больше не будет написано столько глупости по геометрии». В уроке III он называет книги Валлиса «научно безграмотными и абсолютно непонятными». В уроке IV он, обращаясь к Валлису, пишет: «Ваша жалкая книжонка…» И что ему до того, что в своей «жалкой книжонке» Arithmetica Jnfinitorum («Арифметика бесконечного», 1656) Валлис совершил огромный прорыв в исследованиях, на основе которых Ньютон и Лейбниц позднее открыли исчисление бесконечно малых величин.

Урок V особенно показателен. В нем Гоббс распекает Валлиса за описание «параллелограмма, чья высота бесконечно мала». «Это что, язык геометрии?» — вопрошает Гоббс. Основной проблемой Гоббса было то, что он был настолько предан геометрии, что был не в состоянии увидеть новые растущие возможности алгебры. Поэтому он мог со спокойной совестью, рассуждая об оригинальных методах исследования конических сечений, к которым прибегал Валлис, говорить, что тот настолько злоупотреблял использованием символов, что сам под конец в них запутывался и уже не имел терпения во всем этом разобраться.

Свои уроки профессорам математики Гоббс заканчивает словами: «Так идите же своим путем, вы — невежественные и безжалостные клерикалы, Изахары, жалкие Vindices и Indices Academiarum». Сие послание, похоже, нуждается в расшифровке. Вольтер в одной из последующих глав даже еще убедительнее продемонстрирует, что блистание остроумием может сослужить хорошую службу в словесной дуэли. Изахар — библейский персонаж, в XVII веке это было имя нарицательное для наемников, которые поступались принципами ради денег. Vindices — множественное число от Vindex (лат. защитник, поборник), прозвища, которое заработал Сет Уорд в перебранке с Гоббсом. И наконец, Indices Academiarum значит «предатели академии» — тут Гоббс обыгрывает название книги Уорда Vindiciae Academiarum, в которой тот защищает Оксфорд и Кембридж от нападок Гоббса и его единомышленников, заявлявших, что эти университеты были оплотом схоластики, а также центром интеллектуального и научного застоя[5].

Отбиваясь, Валлис придрался к неправильному использованию Гоббсом греческого слова stigma, значение которого «метка, клеймо, тавро». Валлис указывал, что Гоббс должен был писать stigme, что есть математический знак — бесконечная точка (безразмерная точка). Для Гоббса эти два слова были равнозначны в основном потому, что он не мог представить себе математическую точку. В то же время он полагал, что у отрезка должна быть определенная ширина, и это была основная трудность, с которой он сталкивался в.решении задачи о квадратуре круга.

Это не смутило Гоббса, и он ответил памфлетом «Заметки об абсурдных исследованиях в геометрии, просторечии, варварстве и неотесанной церковной политике Джона Валлиса и компании». Иными словами, научный диспут стал превращаться в пререкания по разным поводам, даже таким, как незначительные грамматические аспекты, причем оба ученых мужа считали необходимым продемонстрировать всю свою эрудицию. В этой связи Валлис ответил на латыни еще одной игрой слов: Hobbiani Puncti Dispunktio (Гоббсова неточечная точка»).