5.41. Причина в том, что результаты истинностных действий над функциями истинности всегда тождественны, если они являются одной и той же функцией истинности элементарных суждений.

5.42. Совершенно очевидно, что ∨, ⊃ и т. д. не являются отношениями в том смысле, в каком являются ими правое, левое и т. п.

Взаимоопределяемости «элементарных логических знаков» Фреге и Рассела достаточно, чтобы показать, что они вовсе не элементарны и не выступают знаками отношений.

И очевидно, что «⊃», определяемое посредством «~» и «∨», тождественно тому, которое в сочетании с «~» определяет «∨»; и что второе «∨» тождественно первому; и т. д.

5.43. На первый взгляд кажется маловероятным, что из факта p должно следовать бесконечное множество других, а именно ~~p, ~~~~p и т. д. И не менее удивительно, что бесконечное число суждений логики (математики) следует из полудюжины «основных законов».

Но на самом деле все суждения логики говорят одно и то же – собственно, ничего.

5.44. Функции истинности нематериальны.

К примеру, утверждение может возникнуть из двойного отрицания: в таком случае можно ли заключить, что в известном отношении отрицание содержится в утверждении? Разве «~~p» отрицает ~p, разве оно подтверждает p или делает и то и другое?

Суждение «~~p» не трактует отрицание как объект; с другой стороны, возможность отрицания всегда присутствует в утверждении.

И если есть объект «~», отсюда следует, что «~~p» сообщает нечто отличное от «p», поскольку одно суждение будет об ~, а другое – нет.

5.441. Это исчезновение очевидных логических констант также проявляется в случае «~ (Ǝx) × ~fx», где говорится то же, что в выражении «(x) × fx», и в случае «(Ǝx) × fx × x = a», тождественном «fa».

5.442. Если дано суждение, тогда даны и результаты всех истинностных действий, опирающихся на это суждение.

5.45. Если бы существовали элементарные логические знаки, тогда любую логику, не способную показать отчетливо, как они расположены относительно друг друга, и оправдать их существование, следовало бы признать некорректной. Порождение логики из ее элементарных знаков должно быть очевидным.

5.451. Если в логике имеются элементарные идеи, они должны быть независимы друг от друга. Если элементарная идея вводится, она должна вводиться во все комбинации, в которых может встречаться. Поэтому она не может вводиться сначала в одну комбинацию, а затем в другую.

Например, после внедрения отрицания мы должны понимать его в суждениях «~p» и в суждениях «~ (p ∨ q)», «(Ǝx) × ~fx» и т. д. Мы не можем ввести его сначала в один разряд выражений, а затем в другой, поскольку иначе возникнут сомнения в том, одинаково ли его значение для обоих классов, и не будет никакой причины комбинировать знаки сходным образом в обоих классах.

(Коротко говоря, замечания Фреге относительно внедрения знаков посредством описания (в «Основных законах арифметики») применимо, mutatis mutandis[3], к внедрению элементарных знаков.)

5.452. Внедрение любого нового понятия в логическую символику является по необходимости немаловажным событием. В логике новое понятие не вводится в скобках или в подстрочном примечании – с тем, что можно назвать невинной миной. (В «Principia Mathematica» Рассела и Уайтхеда встречаются определения и элементарные суждения, выраженные в словах. Почему именно слова? Такой метод требует обоснования, но ни одного не приведено и не может быть приведено, поскольку метод на самом деле запрещен.) Однако, если внедрение нового понятия оказалось действительно необходимым, мы должны сразу же спросить себя: «Где именно использование этого понятия неизбежно?» – и потребовать четкого определения его места в логике.

5.453. Все числа в логике требуют обоснования.

Точнее, следует показать, что в логике нет чисел. Нет привилегированных чисел.

5.454. В логике нет соположенности, нет классификации.

В логике не может быть более общего и более особенного.

5.4541. Решения логических задач должны быть просты, ибо они устанавливают стандарты простоты.

Люди всегда верили, что существует некая область, где ответы на вопросы скомбинированы симметрично – и априорно, – что создает упорядоченную, замкнутую систему.

Эта область подчинена закону: Simplex sigillum veri[4].

5.46. Если мы ввели логические знаки надлежащим образом, тогда мы должны одновременно ввести значения всех их комбинаций, то есть не только «p ∨ q», но и «~ (p ∨ q)» и т. д. Мы также должны ввести результаты всех возможных комбинаций в скобках. И таким образом становится ясно, что подлинные общие элементарные знаки – не «p ∨ q», «(Ǝx) × fx» и т. д., а наиболее общие формы их сочетаний.

5.461. Хотя это представляется несущественным, на самом деле логические псевдоотношения, такие как ∨ и ⊃, настоятельно требуют скобок – в отличие от подлинных отношений.

Использование скобок с этими предположительно элементарными знаками само по себе указывает, что они не являются элементарными. И никто не поверит, что скобки обладают самостоятельным значением.

5.4611. Знаки логических действий суть пунктуационные знаки.

5.47. Ясно, что все, что можем сказать заранее обо всех пропозициональных формах, мы должны сказать сразу.

Элементарное суждение на самом деле содержит все логические действия. Ибо «fa» говорит то же, что и «(Ǝx) × fx × x = a». Каков бы ни был состав выражения, в нем всегда присутствуют функция и аргумент, а при их наличии мы уже имеем все логические константы.

Могут возразить, что единичная логическая константа – то общее, что есть у всех суждений по самой их природе.

Но это общее – пропозициональная форма.

5.471. Общая пропозициональная форма – суть суждения.

5.4711. Раскрыть суть суждения значит раскрыть суть всех описаний, то есть суть мира.

5.472. Описание наиболее общей пропозициональной формы есть описание одного и только одного общего элементарного знака логики.

5.473. Логика должна сама заботиться о себе.

Если знак возможен, тогда он способен означать. Что возможно в логике, то разрешено. (Причины, по которой «Сократ тождественен», нет, поскольку нет свойства «тождественный». Суждение лишено смысла, потому что мы не смогли дать произвольное определение, а не потому, что символ недопустим сам по себе.)

В известном смысле в логике невозможны ошибки.

5.4731. Самоочевидность, о которой столько рассуждает Рассел, в логике утрачивает значимость только потому, что сам язык предотвращает логические ошибки. Априорно логику порождает невозможность мыслить нелогично.