Два элементарных суждения дают друг другу вероятность 1/2.

Если p следует из q, тогда суждение «q» наделяет суждение «p» вероятностью 1. Достоверность логического вывода есть предельный случай вероятности.

(Применение этого к тавтологии и противоречию.)

5.153. Само по себе суждение ни вероятно, ни невероятно. Событие происходит или нет; третьего не дано.

5.154. Предположим, что урна содержит равное количество черных и белых шаров (и никаких других). Я достаю один шар за другим и кладу обратно в урну. Этим экспериментом я могу установить, что количество вытянутых черных и белых шаров приближается друг к другу при постоянном вынимании.

Это не математическая истина.

Теперь я говорю: «Вероятность вытянуть белый шар равна вероятности вытянуть черный шар», и это означает, что при всех известных мне обстоятельствах (включая законы природы, понимаемые как гипотеза), у одной вероятности нет преимущества перед другой. Иными словами, общая вероятность составляет 1/2, что легко вывести из предыдущего описания.

Этим экспериментом я подтверждаю, что наступление обоих событий не зависит от обстоятельств, о которых я не имею подробных сведений.

5.155. Минимальная единица вероятностного суждения такова: обстоятельства – о которых я мало что знаю – сулят такую-то и такую-то степень вероятности конкретного события.

5.156. В этом отношении вероятность является обобщением.

Она включает в себя общее описание пропозициональной формы.

Мы используем вероятность за отсутствием достоверности – наше знание не является сколько-нибудь полным, но мы знаем нечто об этой форме.

(Суждение может быть неполной картиной конкретной ситуации, но всегда является полной картиной чего-то.)

Вероятностное суждение есть своего рода извлечение из других суждений.

5.2. Структуры суждений находятся во внутренних отношениях друг к другу.

5.21. Чтобы показать эти внутренние отношения, мы можем применить следующий способ выражения: мы можем представить суждение как результат действия, которое порождает его из других суждений (оснований действия).

5.22. Действие есть выражение отношения между структурами его результата и его оснований.

5.23. Действие – то, что нужно сделать с одним суждением, чтобы получить из него другое.

5.231. Это, разумеется, зависит от их формальных свойств, от внутреннего сходства форм.

5.232. Внутреннее отношение, упорядочивающее последовательности, эквивалентно действию, которое порождает один член последовательности из другого.

5.233. Действия не проявляют себя до того, пока одно суждение не возникнет из другого логически значимым путем: до того, пока не начнется логическое конструирование суждений.

5.234. Функции истинности элементарных суждений суть результаты действий над элементарными суждениями. (Я называю эти действия истинностными действиями.)

5.2341. Смысл функции истинности p есть функция смысла p.

Отрицание, логическое сложение, логическое умножение и т. п. являются действиями.

(Отрицание меняет смысл суждения на противоположный.)

5.24. Действие проявляет себя в переменной; оно показывает, как можно получить одну пропозициональную форму из другой.

Оно выражает различие между формами.

(То, что основания действия и его результаты имеют общего, есть лишь сами основания.)

5.241. Действие – не характеристика формы, а только различие между формами.

5.242. Действие, создающее «q» из «p», также создает «r» из «q», и так далее. Есть лишь один способ выразить это: «p», «q», «r» и пр. должны быть переменными, позволяющими выразить некие общие формальные отношения.

5.25. Наличие действия не характеризует смысл суждения.

Ведь действие ничего не сообщает; говорит лишь результат, который зависит от оснований действия.

(Не следует смешивать действия и функции.)

5.251. Функция не может быть собственным аргументом, тогда как действие может иметь один из своих результатов в качестве основания.

5.252.Только таким способом возможен переход от одного члена последовательности к другому (от типа к типу в иерархии Рассела и Уайтхеда9).

(Рассел и Уайтхед не признавали возможности подобного перехода, но постоянно им пользовались.)

5.2521. Если действие повторно прилагается к его результату, я говорю о последовательном применении действия. («O’O’O’a» есть результат трехкратного последовательного действия «O’ξ» над «a».)

В том же смысле я говорю о последовательном применении более чем одного действия к определенному числу суждений.

5.2522. Согласно с этим я использую знак «(a, x, O’x)» как общий для последовательности форм: a, O’a, O’O’a… Выражение в скобках является переменной: первый его член есть начало последовательности, второй – форма любого члена ряда, а третий – форма члена ряда, следующего за x.

5.2523. Понятие последовательного применения действия равнозначно понятию «и т. д.».

5.253. Одно действие может опровергать результат другого. Действия могут опровергать друг друга.

5.254. Действие способно аннулировать себя (ср. отрицание в «~~p»: ~~p = p).

5.3. Все суждения суть результаты истинностных действий над элементарными суждениями.

Истинностное действие представляет собой способ, каким функция истинности порождается из элементарного суждения.

Для истинностных действий существенно, что сходно с тем, как элементарные суждения создают функции истинности, сами функции истинности порождают новые подобные функции. Когда истинностное действие применяется к функции истинности элементарного суждения, это всегда создает новую функцию истинности элементарного суждения, новое суждение. Когда истинностное действие применяется к результату функции истинности элементарного суждения, всегда имеется единичное действие над элементарными суждениями, приводящее к тому же результату.

Всякое суждение есть результат истинностных действий над элементарными суждениями.

5.31. Схема в пункте 4.31 будет иметь смысл даже в том случае, когда «p», «q», «r» и т. д. не являются элементарными суждениями.

Легко увидеть, что пропозициональный знак в пункте 4.442 выражает единичную функцию истинности элементарных суждений, даже когда «p» и «q» являются функциями истинности элементарных суждений.

5.32. Все функции истинности суть результаты последовательного применения к элементарным суждениям конечного числа истинностных действий.

5.4. Тут становится очевидным, что не существует «логических объектов» или «логических констант» (в том смысле, в каком использовали эти выражения Фреге и Рассел).