Одним из самых ярких результатов глубоких научных контактов в этой области с зарубежными научными центрами явились совместные исследования с группой германских ученых (университет города Бремена), возглавлявшейся Петером Рихтером. По приглашению Бременского университета, А. Т. Фоменко и А. В. Болсинов прочли курс лекций по основам созданной А. Т. Фоменко, его учениками и коллегами теории топологической классификации интегрируемых систем. Одним из важнейших приложений теории является вычисление инвариантов конкретных систем, известных в физике, механике, геометрии. В результате плодотворного сотрудничества с группой германских ученых под руководством П. Рихтера, удалось полностью описать топологию слоений Лиувилля для серии динамических систем, объединенных названием «случай Ковалевской».

Результаты оказались настолько интересными и неожиданными, что был сделан компьютерный фильм «Kovalewskaya Top» («Волчок Ковалевской»), в котором удалось наглядно изобразить различные режимы вращения этого «волчка», возникающие при этом бифуркации торов Лиувилля, а также нарисовать «атомы» и «молекулы», то есть дискретные инварианты Фоменко-Цишанга, классифицирующие интегрируемые системы с точностью до топологической эквивалентности.

В 2001 году контакты с японскими исследователями в области компьютерной геометрии были существенно расширены. Состоялась поездка А. Т. Фоменко в Токио, в известный Institute of Technology.

Приглашал департамент, где разрабатывается компьютерная геометрия. Меня попросили рассказать о новых геометрических, топологических и алгоритмических методах, созданных на нашей кафедре. В итоге было заключено соглашение о совместных исследованиях. В частности, по моей рекомендации на работу в Токийский Технологический Институт было взято несколько моих учеников. В результате возникла группа специалистов, внедряющих в компьютерную геометрию новые методы, разработанные, в частности, научной школой А. Т. Фоменко.

В конце 2005 – начале 2006 года сотрудник лаборатории компьютерных методов в естественных и гуманитарных науках Г. В. Носовский получил грант Tan Chin Tuan Fellow, согласно которому он провел 3 месяца в Сингапуре в Наньянгском Технологическом университете – на Компьютерно-инженерном факультете (Faculty of Computer Science and Engineering): научная работа и чтение лекций по финансовой математике. Целью исследовательской группы была математическая формализация задачи кластеризации облака точек в евклидовом пространстве на основе близости, задаваемой евклидовым расстоянием.

1.2. Исследования по компьютерной геометрии на кафедре дифференциальной геометрии и приложений

Исследования по компьютерной геометрии на нашей кафедре имеют давнюю традицию. Они восходят, в частности, к работе 1974 года Игоря Александровича Володина, Владимира Евгеньевича Кузнецова и А. Т. Фоменко.

Далее следует упомянуть исследования С. В. Матвеева и А. Т. Фоменко по гиперболической геометрии и изоэнергетическим 3-многообразиям (интегрируемых динамических систем). В этой работе, опираясь на обширный вычислительный эксперимент, мы сформулировали ставшую известной гипотезу о минимальном объеме замкнутого гиперболического трехмерного многообразия (недавно она была доказана).

Развивая методы компьютерной геометрии, С. В. Матвеев и А. Т. Фоменко написали несколько статей и издали в 1991 году книгу «Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии». Книга была быстро переведена на английский язык и приобрела популярность среди специалистов.

Начиная с 1992 года, на нашей кафедре создается «Топологический Атлас интегрируемых гамильтоновых систем». Согласно теории, построенной А. Т. Фоменко и его учениками, системы указанного вида с двумя степенями свободы топологически классифицируются инвариантами, являющимися одномерными графами («мечеными молекулами». Их вершинами служат канонические бифуркации (названные «атомами»), а на ребрах поставлены некоторые числовые метки. Эта теория открыла широкие возможности для распознавания эквивалентных интегрируемых динамических систем, а также для доказательства неэквивалентности некоторых систем, хорошо известных в геометрии, физике, механике. Вычисление указанных «молекул» формулируется теперь как задача компьютерной геометрии. За нескольких лет были вычислены топологические инварианты многих конкретных интегрируемых систем, составлены соответствующие «атласы». В результате возникла обширнейшая компьютерная база данных, позволяющая отвечать на многие вопросы в теории интегрируемых систем. Это – яркий пример взаимодействия компьютерной геометрии с «чистой» геометрией.

Также на нашей кафедре активно изучаются геометрические вариационные задачи, в частности, минимальные поверхности и минимальные сети (А. О. Иванов, Д. П. Ильютко, А. А. Тужилин, А. Т. Фоменко). Эти задачи включают в себя богатую комбинаторику, что делает применение компьютерной геометрии особенно важным.

Среди прикладных исследований, проводимых на нашей кафедре, важное место занимают приложения к биологии, в частности, к биофизике. Как стало известно в 70-х годах XX века, молекула ДНК, являющаяся основой жизни, образует узлы, и ее заузления играют существенную роль в жизненных процессах. Здесь определяющим является то обстоятельство, что биологические свойства макромолекул (ДНК, белки, РНК) во многом зависят от той формы, которую они принимают в пространстве.

Например, молекула белка приона в случае, если он обладает аномальной трехмерной структурой, может приводить к тяжелому заболеванию («коровье бешенство»).

Следует отметить, что наша кафедра имеет давние контакты с биофаком МГУ (декан – академик РАН Михаил Петрович Кирпичников, кафедра био-инженерии биологического факультета, заведующий профессор Константин Вольдемарович Шайтан) и факультетом био-информатики и био-инженерии МГУ (декан – академик Владимир Петрович Скулачев). В частности, достигнуты определенные успехи в разработке комбинаторных аналогов дифференциально-геометрических подходов к описанию конформаций макромолекул.

Другая важная прикладная область, которая активно изучается на нашей кафедре и возглавляется профессором В. Л. Голо, – это физика мягкой материи, к которой относится подавляющее большинство субстанций живых организмов, а также многие системы неживой природы.

Характерными признаками мягкой материи являются несущественность инерционных эффектов, малость упругих констант и преобладание диссипативных эффектов. В связи с этим многие традиционные методы, применяемые для описания, например, кристаллических тел, оказываются неприменимыми. По этой причине анализ задач физики мягкой материи требует применения компьютерных и статистических методов. Таким образом, необходимо изучать системы очень большой размерности, доходящей до десятков миллионов, с учетом их топологии. В этой области науки пока больше вопросов, чем ответов. Результаты, которые удается получить (в частности, В. Л. Голо и его учениками), оказываются интересными для приложений: создания новых лекарственных препаратов, сенсоров, и целого ряда технических разработок, которые сейчас принято включать в область нано-технологий.

1.3. Обучение компьютерной геометрии на Мехмате