Самое простое применение такого типа спиноров в физике – это описание спиновой степени свободы электронов и других частиц со спином ½. Другой вид спиноров – подходящий для четырехмерного пространства-времени – появляется в уравнении Дирака для релятивистских электронов. Еще один вид спиноров, связанный с 10-мерным пространством, появляется при описании сущности, которая представляет вещество в схеме объединения SO (10). Другие виды спиноров появляются в теории коррекции ошибок для квантовых компьютеров. Что связывает три последних появления спиноров, если они вообще как-то связаны, остается до сих пор неясным. Возможно, в этом заключается еще один шанс для искателей объединения.

Я был бы рад оказаться неправым на этот счет, но боюсь, что сколько-нибудь глубокое понимание спиноров находится за пределами человеческой интуиции, если только ей не способствует специальный опыт и знание специальной алгебры. Статья в «Википедии» en.wikipedia.org/wiki/Spinor написана очень хорошо, но и она не может совершить это чудо. Великий современный математик Майкл Атия прочитал лекцию «Что такое спинор?» («What is a Spinor?»), которую вы можете найти на YouTube по ссылке youtube.com/watch?v=SBdW978Ii_E. Эта лекция сочетает в себе интересные случаи из жизни и общечеловеческую мудрость, с одной стороны, и очень продвинутую математику – с другой.

Одна из вещей, которую показывают спиноры, это то, что поворот на 360° – это не то же самое, что никакого поворота вообще, в то время как поворот на 720° градусов, т. е. в два раза больше – то же самое. Это различие также можно увидеть, проведя эксперимент, который можно сделать в домашних условиях, посмотрев видео здесь: youtube.com/watch?v=fTlbVLGBm3Q.

Здесь слово «простое» имеет определенное техническое значение…

Две ссылки, упомянутые ранее, подойдут и в этом случае: www.youtube.com/watch?v=mitioODQYgI и http://www.mathopenref.com/trigsinewaves.html. Я добавлю сюда две классические книги великих физиков по акустике: «Учение о слуховых ощущениях как физиологическая основа для теории музыки» (On the Sensations of Tone) Г. Гельмгольца и «Теория звука» (Theory of Sound) лорда Рэлея (Дж. Стретт). Обе доступны онлайн бесплатно, а также в симпатичных изданиях издательства Dover.

Предлагаю вашему вниманию небольшой список литературы для дальнейшего изучения тем, затронутых в нашей медитации. Я разделил его на три категории: классика, квантовая теория и современные достижения. Каждая из названных книг имеет для меня большое значение[125].

Ничто не может заменить возможность напрямую пообщаться с великими мыслителями с помощью их лучших трудов. Поэтому, несмотря на то, что техническое и научное содержание приведенных ниже книг уже утратило силу, я не колебался, рекомендуя их вашему вниманию. Часть этого материала находится на публичных ресурсах и доступно в Интернете, если вы знаете, что именно ищете. Но хорошо изданные бумажные книги очень привлекательны и проверены временем, их удобно носить с собой, они дают приятные тактильные и эстетические ощущения, так что, возможно, вы захотите рассмотреть их как альтернативу.

Plato, The Collected Dialogues of Plato, Including the Letters, edited by Edith Hamilton and Huntington Cairns, translated by Lane Cooper (Princeton University Press). Есть русские переводы, например: Платон. Диалоги. – М.: Мысль, 1986. Особое внимание обратите на диалог Timaeus («Тимей»).

Bertrand Russell, The History of Western Philosophy (Simon & Schuster). Есть русские переводы, например: Рассел Б. История западной философии. – Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2001. Особое внимание обратите на Книгу 1 («Древняя философия», Ancient Philosophy) и часть 1 Книги 3 («От Возрождения до Юма», From the Renaissance to Hume).

Galileo Galilei, The Starry Messenger (Levenger). Есть русский перевод: Галилей Галилео. Звездный вестник. – М.: Наука, 1964.

Isaac Newton, The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy (University of California Press). При обращении к этому шедевру желателен хороший наставник. К счастью, рекомендуемое великолепное издание представляет собой новый перевод с латыни на английский, сделанный Бернардом Коэном и Анне Уитман, с замечательным введением и комментариями Коэна. На русском языке главный труд Ньютона издан в замечательном переводе академика А. Н. Крылова: Ньютон И. Математические начала натуральной философии. – М.: Наука, 1989.

Isaac Newton, Opticks (Dover Publications). Это гораздо более легкий для восприятия труд Ньютона. Я рекомендую очень специальное и недорогое издание с предисловием Альберта Эйнштейна, введением сэра Эдмунда Уиттекера, предисловием Бернарда Коэна и полезным аналитическим содержанием Дюэйн Роллер. На русском языке «Оптика, или Трактат об отражениях, преломлениях, изгибаниях и цветах света» Ньютона издавалась в 1927 и 1954 гг.

John Maynard Keynes, Newton, the Man (Джон Мейнард Кейс «Ньютон, Человек»). Это удивительное короткое эссе, дань уважения одного гения к другому, совсем не похожему на него, доступно на www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Keynes_Newton.html.

James Clerk Maxwell, The Scientific Papers of James Clerk Maxwell, edited by W. D. Niven (Dover Publications). В качестве альтернативы на русском языке можно рекомендовать издание Дж. К. Максвелл «Статьи и речи» (М.: Наука, 1968), которое цитировалось при выполнении данного перевода.

Albert Einstein, H. A. Lorentz, H. Weyl, and H. Minkowski, The Principle of Relativity, with notes by A. Sommerfeld (Dover Publications). Это потрясающая коллекция! В нее включены основные статьи Эйнштейна по специальной и общей теории относительности, его краткие заметки по превращению массы в энергию, выступление Минковского, представляющее современную концепцию пространства-времени, и ранняя попытка Вейля создать единую теорию поля, где впервые появляется понятие «калибровочной инвариантности». Эти бумаги являются записями исследователей, и никто не ждет от обычных читателей, что они смогут проследить за всеми математическими деталями, но многие из них отражают содержательные дискуссии и замечания, которые имеют ценность как литературные произведения. Есть близкий по содержанию сборник на русском языке: Пуанкаре А., Эйнштейн А., Лоренц Г. А., Минковский Г. Принцип относительности. – Л.: ОНТИ, 1935. Укажем также на фундаментальное издание: Эйнштейн А. Собрание научных трудов. – М.: Наука, 1965–1967. Работы по теории относительности находятся в томах 1 и 2.