26. На самом деле, согласно принципу дуальности, о котором шла речь в этой главе, даже пробные частицы, используемые для изучения данной версии теории струн, изменяют свой характер, когда связь становится сильной. Так, если Икар действительно был частью струнного мира, он также изменился бы.

27. Они могут простираться и в нулевом измерении, тогда они являются новыми типами частиц, которые называются D0-бранами, а также в одном измерении, и тогда возникают новые типы струн, называемые D1 — бранами.

28. Браны не обязательно взаимодействуют посредством обычных зарядов. Они взаимодействуют посредством многомерных обобщенных зарядов.

29. На самом деле симметрия вращает браны, переводя их друг в друга, но это находится за рамками технического уровня этой книги.

30. Обычно массы калибрино находятся в отношении 1:3:30, причем фотино является самой легкой частицей, следующими идут вино (хотя зино могут быть немного тяжелее или легче, чем вино), а глюино — самые тяжелые. В уединенных моделях это отношение равно 1:2:8, причем вино — самые легкие, фотино тяжелее, а глюино опять самые тяжелые.

31. Волновые функции мод Калуцы — Клейна — это те моды, которые возникают в обобщенном фурье-разложении многомерной волновой функции.

32. Это предполагает также, что в геометрии пространства-времени отсутствуют сингулярности, т. е. места, где пространство-время сжимается до нулевого размера.

33. Д. Кремадес, С. Франко, Л. Ибаньес, Ф. Марчесано, Р. Рабадан и А. Уранга предложили интересную альтернативу. Их идея состоит в том, что частицы закреплены не на индивидуальных бранах, а на пересечениях разных бран. Как и в случае разделенных параллельных бран, простирающиеся между бранами струны должны быть в общем случае тяжелыми. Но легкие или безмассовые частицы возникают от струн нулевой длины, которые в этом случае были бы прикреплены к области, где происходит пересечение бран.

34. Мы можем также показать это несколько иным способом с помощью более математизированного рассуждения. Когда имеются свернутые измерения, силовые линии, исходящие от массивного объекта, ведут себя на малых расстояниях согласно закону тяготения в пространстве с большим числом измерений, а на больших расстояниях — согласно четырехмерному закону тяготения. Единственный способ согласовать два закона силы и гладко переключиться от одного к другому состоит в том, чтобы заметить, что на расстояниях, примерно соответствующих размерам дополнительных измерений, силовые линии расходятся так, как будто существуют только четыре измерения, но с интенсивностью, подавленной за счет дополнительного объема свернутого пространства. За пределами размера дополнительных измерений гравитация ведет себя четырехмерно, но с интенсивностью, подавленной за счет размытия по объему дополнительных измерений.

Ньютоновский закон тяготения утверждает, что когда имеются три пространственных измерения, сила пропорциональна

1/MPl2 x 1/r2

Если существуют п дополнительных измерений, то закон силы примет вид

1/Mn+2 x 1/rn+2

где М определяет интенсивность тяготения в пространстве большего числа измерений, аналогично тому, как МPl определяет интенсивность четырехмерной гравитации. Заметим, что силовой закон в пространстве с дополнительными измерениями быстрее меняется как функция r, так как силовые линии расплываются по гиперсфере, поверхность которой имеет п + 2 измерения (в противоположность двумерной поверхности сферы, определяющей закон тяготения в трехмерном пространстве). Однако, когда объем дополнительных измерений конечен и п дополнительных измерений имеют размер R, закон силы примет вид

1/Mn+2 x 1/rn x1/r2

где r больше R, и силовые линии не могут более распространяться в дополнительных измерениях. Если осуществить отождествление МPl2 = Мп+2Rn, то это будет форма пространственно трехмерного закона силы. Так как Rп есть объем пространства дополнительных измерений, мы получаем, что интенсивность гравитационного взаимодействия уменьшается с объемом, или, что эквивалентно (так как интенсивность тяготения слабее, когда планковский масштаб энергии больше), планковский масштаб энергии большой, если объем большой.

35. Плоская метрика с тремя пространственными измерениями имеет вид

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 — с2dt2.

Так как в ней нет никаких коэффициентов, зависящих от пространственных или временной переменных, измерения не зависят от того, где вы находитесь или в каком направлении смотрите. Можно сказать, что пространство-время полностью плоское. Все три пространственные координаты, а также временная координата (с точностью до знака минус, который всегда выделяет время) рассматриваются на равных основаниях. Это означает, что коэффициенты в слагаемых метрики полностью не зависят от положения во времени и пространстве.

36. Метрика закрученной геометрии имеет вид

ds2 = е -k|r| (dx2 + dy2 + dz2 — с2dt2) + dr2,

где г — координата пятого измерения. Это говорит нам о том, что при любом фиксированном положении в пятом измерении, соответствующем фиксированному значению г, пространство-время полностью плоское. Однако общий зависящий от г множитель указывает, что способ измерения размера меняется в соответствии с положением объекта в пятом измерении. Экспоненциальное уменьшение коэффициента, являющегося закручивающим конформным фактором, есть причина того, что функция вероятности гравитона экспоненциально уменьшается, а также того, почему мы должны менять масштаб массы, энергии и размера, чтобы получить единую четырехмерную эффективную теорию.

37. Так как пространство не является плоским, объем дополнительных измерений, возникающий при вычислении MPl в четырех измерениях, не равен просто MPl3R, как это было бы в случае плоского пространства. Теперь значение MPl зависит от кривизны. Если метрика имеет форму

ds2 = е -k|r| (dx2 + dy2 + dz2 — с2dt2) + dr2

где r — координата пятого измерения, то, приблизительно, MPl2 = М3/k. Иными словами, размер пространства в значительной степени безразличен. Это разумно, так как кривизна пространства, а не размер дополнительного измерения, определяет то, каким образом силовые линии распространяются в дополнительном измерении, и тем самым определяют интенсивность четырехмерной гравитации. На самом деле существует небольшая зависимость от R. Правильная формула имеет вид