Вполне разумно, что в таких ситуациях ожидания людей относительно поведения будут вероятностными по своей природе. Люди начнут ожидать, что другие будут выбирать то орла, то решку. Теория игр также определяет равновесие Нэша в таких случаях. Для этого действия в множестве действий игрока (A) называются чистыми стратегиями, и определяется смешанная стратегия как распределение вероятностей по чистым стратегиям игрока. Тогда мы можем решить так называемые равновесия Нэша со смешанной стратегией[393]. В игре «Орлянка» и в игре «Движение по дороге», например, разыгрывание каждого действия с вероятностью 0,5 для каждого игрока является равновесием Нэша со смешанной стратегией.

Любая игра с конечным количеством игроков, каждый из которых имеет ограниченное количество чистых стратегий, имеет равновесие Нэша, хотя возможно и в смешанных стратегиях. Путем ограничения комбинаций стратегий (т. е. планов поведения) теми, что являются самоподдерживающимися в смысле равновесия Нэша, теория игр ограничивает спектр допустимого поведения в таких играх.

Хотя описанные здесь ситуации очень просты, тот же самый анализ может быть применен к более сложным случаям, в которых игроки производят ходы последовательно и в которых существует информационная асимметрия или неопределенность. Понятия равновесия, используемые применительно к таким ситуациям, как правило, являются усовершенствованиями равновесия Нэша, т. е. равновесиями Нэша, удовлетворяющими некоторым дополнительным условиям. Последующее обсуждение динамических игр иллюстрирует природу таких усовершенствований и полезность наложения дальнейших ограничений на допустимое самоподдерживающееся поведение.

А.2. Самоподдерживающееся поведение в динамических играх: обратная индукция и совершенные по подыграм равновесия

Рассмотрим динамическую ситуацию, в которой игроки делают ходы последовательно, а не одновременно. Динамические игры легче представлять в расширенной (древовидный график), а не в нормальной (матричной) форме, используемой в рис. А.1–3. В расширенной форме игра представляется в виде графа или древа, в котором каждое ответвление – точка принятия решения для игрока, а каждая ветвь ассоциируется с отдельным действием. Выигрыши, ассоциирующиеся с различными действиями, приводятся в конце древа.

Хотя в динамических играх может быть множество ветвей и поворотных точек, их базовую структуру можно проиллюстрировать на примере игры с двумя точками принятия решений. В этой игре игрок 1 выбирает действие а1 из множества осуществимых решений А1. Наблюдая за выбором игрока 1, игрок 2 выбирает действие а2 из множества осуществимых решений А2. После того как игроки выбрали свои действия, они получают выигрыши u1(a1, a2) для игрока 1 и u2(a1, a2) для игрока 2.

РИС. А.4. Игра «Односторонняя дилемма заключенного»

Примером динамической игры с такой структурой является односторонняя дилемма заключенного (рис. А.4). Сначала игрок 1 выбирает, сотрудничать или нет. Если он выбирает отказ от сотрудничества, игра заканчивается и выигрыши игроков составляют (0,5; 0). Если игрок 1 выбирает сотрудничество, игрок 2 может выбрать какое-либо действие. Если он решает сотрудничать, выигрыши обоих игроков равны 1, но если он решает смошенничать, он получает больший выигрыш, 2, тогда как игрок 1 получает 0[394]. В этой игре игроку 1 сотрудничество выгодно, но только если игрок 2 тоже сотрудничает. Если игрок 2 мошенничает, игрок получает меньший выигрыш, чем в случае, если бы он отказался от сотрудничества.

Динамические игры, такие как «Односторонняя дилемма заключенного», представляют интерес для социальных наук, потому что они передают главное в отношениях обмена – личных, социальных, экономических и политических. Обмен всегда является последовательным: между quid и quo всегда проходит некоторое время [Greif, 1997a; 2000]. Говоря обобщенно, в социальных отношениях прежде, чем что-то получить, приходится давать, и в тот момент, когда ты что-то отдаешь, ты получаешь лишь обещание получить что-то в будущем.

Может ли игрок 1 поверить в то, что игрок 2 будет сотрудничать? Чтобы это выяснить, мы должны пойти обратно по древу игры, изучив оптимальное действие игрока, предположительно делающего ходы в каждой точке принятия решения. Такой метод известен как обратная индукция[395].

РИС. А.5. Односторонняя игра «Дилемма заключенного» в матричной форме

Рассмотрим решение игрока 2. Его выигрыш составляет 2, если мошенничает, и 1, если сотрудничает, из чего следует, что мошенничество является для него оптимальным выбором. Ожидая этого, игрок 1 выберет отказ от сотрудничества и получит 0,5, вместо того чтобы сотрудничать и получить 0. (Эти ветви выделены жирным в графике древа игры на рис. А.4.) Данная комбинация действий является самоподдерживающейся, потому что наилучшим ответом на отказ от сотрудничества является мошенничество. Обратная индукция открывает самоподдерживающуюся комбинацию действий – не сотрудничать, мошенничать. Такая комбинация действий является равновесием Нэша.

Как указывает этот анализ, равновесие Нэша может быть парето-худшим. Выигрыши, связанные со стратегией (сотрудничать, сотрудничать) выгоднее для обоих игроков, чем если игрок 1 отказывается от сотрудничества; таким образом, кооперация является выгодной и эффективной. Но если игрок 1 сотрудничает, выигрыш игрока 2 от мошенничества выше, чем выигрыш от сотрудничества. Сотрудничество не является самоподдерживающимся.

В односторонней дилемме заключенного обратная индукция дает единственное равновесие Нэша. Это легко увидеть, если мы представим игру в матричной форме (рис. А.5). В матричной форме игрок 1 выбирает между сотрудничеством и отказом от него, тогда как игрок 2 выбирает между сотрудничеством и мошенничеством. Связанные с каждым действием выигрыши – те же самые, что на рис. А.4. Исход с равновесием Нэша выделен жирным шрифтом.