Когда обратная индукция возможна, это ведет к таким комбинациям действий, которые являются равновесием Нэша, но обратное неверно. Если мы представим расширенную (древовидную) форму в соответствующей матричной (нормальной) форме, не каждое равновесие Нэша в матричной форме игры может быть достигнуто через обратную индукцию в исходной древовидной форме. Это происходит потому, что анализ игры в древовидной форме при помощи обратной индукции передает тот факт, что игроки делают ходы последовательно, а это не передается в матричной форме представления игры. То, что древовидная форма передает больше информации о структуре игры, позволяет нам исключить некоторые равновесия Нэша, которые мы не можем устранить в нормальной форме. В частности, мы можем исключить равновесия Нэша, основывающиеся на недостоверных угрозах или обещаниях. Древовидное представление, таким образом, способствует дедуктивному ограничению – уточнению – множества допустимых вариантов самоподдерживающегося поведения.

Для того чтобы увидеть преимущество обратной индукции, рассмотрим следующие древовидные и матричные представления одной и той же игры (рис. А.6). В этой игре игрок 1 выбирает между левой (Л) и правой (П) стороной, тогда как игрок 2, который ходит вторым, выбирает между верхом (В) и низом (Н). Если игрок 1 сыграет Л, его выигрыш составит 1, а игрок 2 выиграет 2. Если игрок 1 сыграет П, а игрок 2 сыграет Н, то выигрыши составят (2, 1), но если игрок 2 сыграет В, то выигрыши составят (0, 0). Анализ этой игры показывает, как обратная индукция устраняет равновесие Нэша, основанное на недостоверных угрозах.

РИС. А.6. Устранение равновесия Нэша, основанного на недостоверных угрозах

Матричная форма представления этой игры показывает два равновесия Нэша: (Л, В) с выигрышами (1, 2) и (П, Н) с выигрышами (2, 1). Обратная индукция дает только (П, Н). (Л, В) не выводится путем обратной индукции, потому что основывается на недостоверной угрозе, которую скрывает нормальная форма представления. При этом равновесии игрок 1 мотивирован выбирать Л, потому что игрок 2, как предполагается, сыграет В, тогда как наилучшим ответом игрока 2 на выбор игроком 1 Л было бы В. Учитывая, что игрок 1 выбирает Л, выигрыш игрока 2 в действительности не зависит от выбора между В и Н, потому что, учитывая, что игрок 1 выбрал Л, ни одно из этих действий предпринято не будет. Отсюда следует, что равновесие (Л, В) зависит от недостоверной угрозы, лежащей вне равновесной траектории, т. е. основывается на том, что игрок 2 будет действовать в ситуации, которая никогда бы не произошла, если бы игроки играли в соответствии с этой комбинацией действий. Если бы у игрока 2 действительно возникла потребность, чтобы такое действие совершилось, он не счел бы такое поведение оптимальном. Обратная индукция позволяет нам выявить блеф игрока 2 и соответственно ограничить множество вариантов допустимого самоподдерживающегося поведения. Если игрок 1 играет П и, следовательно, выбор игрока 2 влияет на выигрыши, то оптимальным для игрока 2 будет сыграть Н и получить 1 (вместо того чтобы сыграть В и получить 0). Обратная индукция показывает, что игрок 1, предвосхищая такой ответ, выбрал бы П и получил 2 вместо того, чтобы выбрать Л и получить 1.

Обратная индукция может применяться к любой динамической игре с закрытым горизонтом и совершенной информацией. В таких играх игроки делают ходы последовательно, и все предыдущие ходы становятся общеизвестными прежде, чем будет выбрано следующее действие. В других играх, например в динамических играх с одновременными ходами или при бесконечном горизонте, мы не можем применять обратную индукцию напрямую. Тем не менее понятие совершенного по подыграм равновесия позволяет ограничить множество допустимых равновесий Нэша, устранив те из них, которые полагаются на недостоверные угрозы или обещания. В тех случаях, когда может быть применена обратная индукция, получаемое в результате равновесие Нэша оказывается совершенным по подыграм равновесием: оно представляет собой усовершенствование равновесия Нэша в том смысле, что это равновесие Нэша, удовлетворяющее дополнительному условию.

Для того чтобы лучше понять концепцию совершенного по подыграм равновесия, заметим, что в представленных здесь примерах комбинации действий, полученные благодаря обратной индукции, удовлетворяют требованию взаимного наилучшего ответа для равновесия Нэша. Оно также удовлетворяет требованию того, чтобы действие игрока 2 было оптимальным в игре, которая началась, когда ему приходилось выбирать действие. Начиная с этой точки принятия решения, обратная индукция ограничивает допустимое множество действий игрока 2 оптимальными действиями.

Однако в динамических играх с одновременными ходами мы, как правило, не можем следовать этой процедуре, потому что оптимальное действие зависит от действия другого игрока. Чтобы понять, почему данное условие ограничивает использование обратной индукции, рассмотрим следующую игру, представленную в расширенной и в нормальной форме (рис. А.7). Игрок 1 первым делает ход, выбирая между А и В. Если игрок 1 выбирает В, игра заканчивается и выигрыши составляют (2, 6). Если игрок 1 выбирает А, оба игрока играют в игру с одновременными ходами, представленными в матрице 2–2. К игре 2–2, которая следует за выбором А игроком 1, не может быть применена обратная индукция с рассмотрением оптимальных ходов либо игрока 1, либо игрока 2.

Иными словами, ни один игрок не делает ход последним, как это происходит в игре с последовательными ходами.

РИС. А.7. Совершенное по подыграм равновесие

Однако мы по-прежнему можем следовать логике процедуры обратной индукции с нахождением равновесия Нэша в играх 2–2 и рассмотрением оптимального выбора игрока 1 между А и В, принимая во внимание этот исход равновесия Нэша. Равновесием Нэша в игре 2–2 является комбинация (C, E), которая дает выигрыши (3, 4). Оптимальным выбором между А и В для игрока 1 является, таким образом, А. Комбинация действий, которую дает эта процедура, – (AC, E), т. е. совершенное по подыгре равновесие. Чтобы увидеть, что эта процедура устраняет равновесие Нэша, основанное на недостоверных угрозах, отметим, что в игре есть три равновесия Нэша: (AC, E), (BC, F) и (BD, F). (BC, F) и (BD, F) дают выигрыши (2, 6), что менее выгодно для игрока 1 и более выгодно для игрока 2, чем совершенное по подыгре равновесие (AC, E). Оба эти равновесия, однако, основываются на недостоверных угрозах, лежащих вне траектории игры. Рассмотрим (BC, F). Если брать игру как целое, выбор С или F не влияет на выигрыши, потому что эти действия лежат вне траектории игры. Но если на самом деле возникнет потребность предпринять такие действия, они не станут взаимным наилучшим ответом. Если игрок 2 выбирает F, лучший ответ игрока 1 – D, а не C, который дает игроку 1 выигрыш в 2 вместо 1. Подобным образом в (BD, F), если игрок 1 выбирает D, лучший ответ игрока 2 – E вместо F, что дает ему выигрыш в 1 вместо 0.