Теперь рассмотрим, как определение Кантора выражает мысль о том, что каждой точке числовой оси соответствует вещественное число.

Числа 0 и 1 наносятся на прямую произвольно, но после этого позиции вещественных чисел строго определены. Предположим, у нас есть точка Р, для которой мы не подобрали никакого соответствующего рационального числа (см. рисунок 13). Как мы можем доказать, что этой точке соответствует число (разумеется, рациональное)?

Возьмем последовательность точек, которые соответствуют рациональным точкам и постепенно все больше приближаются к Р. Они образуют фундаментальную последовательность, которой будет соответствовать вещественное число, и оно же будет соответствовать точке Р. На рисунке 13 представлен пример, где точка Р соответствует числу π.

РИС. 13

Однако, по мнению Кантора (и тут мы подходим к идее бесконечности), еще одним фундаментальным свойством континуума является тот факт, что он несчетен (множество счетно, если эквивалентно натуральным числам). В серии из шести статей, опубликованных с 1879 по 1882 год в Mathematische Annalen, среди прочих вопросов о бесконечных множествах он рассмотрел альтернативные определения континуума, в которых несчетность являлась одной из его основных характеристик.

Тот факт, что точки отрезка образуют несчетное множество, позволяет решить парадокс Аристотеля. Если отрезок состоит из точек, то, поскольку у каждой точки нулевая длина, общая длина отрезка должна составить 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0. Сколько нулей мы складываем? Ответ: бесконечное количество нулей; но какова мощность этой бесконечности?

Когда мы пишем 0 + 0 + 0 + 0 +..., мощность складываемых нулей равна ******** ..., то есть она такая же, как у натуральных чисел. Мы складываем счетное количество нулей! Сумма счетного количества нулей действительно равна нулю, поэтому континуум не может быть счетным.

Но у несчетных сумм свои правила, которые отличаются от правил счетных сумм, и интересно, что сумма несчетного количества нулей может быть больше нуля. Таким образом, как говорил Кантор, мы видим, что различие между счетностью и несчетностью имеет решающее значение в определении вещественных чисел и, следовательно, в исчислении. Но картина еще не завершена. Почему в заголовке статьи, в которой Кантор дает определение вещественным числам, упоминаются «тригонометрические ряды»? Что это такое и какую роль они сыграли в развитии научной мысли Кантора? Об этом — в следующей главе.

В 1883 году Георг Кантор опубликовал статью «Основы общего учения о многообразиях», которая стала кульминацией его математического творчества. В ней он впервые дал определение множеству бесконечных чисел, которые назвал ординальными. Зерно идей, изложенных в этой работе, уже присутствовало в статье, которую Кантор написал десятью годами ранее, но для того чтобы полностью развить их, ему требовалось преодолеть интеллектуальные предубеждения своей эпохи.

В подходе к математике Георга Кантора и Рихарда Дедекинда было много общего. В частности, оба соглашались с необходимостью ввести в нее понятие множества. Но что это такое — «понятие теории множеств»?

В статье 1883 года, озаглавленной «Основы общего учения о многообразиях» с подзаголовком «Математически-философский опыт учения о бесконечном» и изданной Кантором самостоятельно в виде отдельной монографии (с «самыми удивительными, самыми неожиданными идеями»), он отмечал:

«Mannigfaltigkeitslehre [учение о многообразиях]. Этими словами я обозначаю одну чрезвычайно обширную дисциплину, которую до этого я пытался разработать лишь в специальной форме арифметического или геометрического учения о множествах. Под «многообразием» или «множеством» я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, то есть всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона».

«Множество», таким образом, — это синоним «группы», в том смысле, в котором мы обычно употребляем это слово. Данное определение сыграло важнейшую роль в развитии математики, установив, что множество — это объект, отличный по своей сути от своих составляющих. Несколько лет спустя британский логик Бертран Рассел (1872-1970) проиллюстрировал это различие словами: «Табун лошадей — не то же самое, что лошадь».

Множество — как закрытый мешок, в котором содержатся абсолютно определенные вещи, но их нельзя увидеть, мы о них ничего не знаем, кроме того, что они существуют и они определены.

Рихард Дедекинд в письме немецкому математику Феликсу Бернштейну, 1899 год

Так, множество всех рациональных чисел, которое обычно обозначается буквой Q, имеет особые характеристики. Они относятся только к Q в целом, но не к рациональным числам по отдельности, например счетность. В случае, когда мы говорим о Q как о совокупности актуально существующей, определение множества подразумевает, что мы должны принять идею актуальной бесконечности.

Мы можем совершать операции с числами — складывать или умножать — так же, как с множествами (например, объединять). Если есть два множества, их объединение даст другое множество, включающее в себя все объекты, из которых состоят эти два множества. Если мы возьмем множество натуральных чисел N, членами которого являются 0, 1,2, 3, ..., и множество отрицательных целых чисел Ν', то их объединением будет множество целых чисел, которое обычно обозначается буквой Ζ (первой буквой немецкого слова Zahl, «число») и содержит одновременно члены N и Ν'. В записи математическими символами это выглядело бы так: N U Ν’ = Ζ (см. рисунок).

Одна из особенностей, которую Кантор описал в своей статье 1895 года, проиллюстрирована на рисунке: объединение двух счетных множеств всегда дает в результате счетное множество. Изучение свойств, которые относятся либо к множествам, либо к объектам самим по себе, составляет предмет так называемой теории множеств, и Кантор считается ее создателем, поскольку первым начал исследовать эти свойства. Одним из важнейших аспектов теории множеств является изучение мощности бесконечных множеств. Именно поэтому говорят, что теория множеств и теория математической бесконечности — это, в сущности, одна и та же теория.

Объединение двух множеств содержит одновременно элементы и того и другого.

ТОЧКИ СОПРИКОСНОВЕНИЯ

Выходит, что теория множеств родилась в 1883 году? Почему же тогда задолго до этого, в 1872 году, Кантор и Дедекинд уже сошлись на том, что в математику необходимо ввести понятия множеств?

В 1872 году Кантор опубликовал статью, в которой было предложено решение проблемы континуума. Решение состояло в том, чтобы найти такое определение вещественных чисел, которое не опиралось бы на геометрические понятия. Важно отметить, что уже тогда Кантор знал: эта задача приведет его к актуально бесконечным множествам.