Фундаментальные алгебраические уравнения включают, в частности, многочлены — комбинации различных степеней неизвестной величины x, где каждая степень x умножается на некое число, называемое коэффициентом. Наибольшая степень x есть степень многочлена. К примеру, уравнение

содержит многочлен, начинающийся с x4, т. е. четвертой степени. Коэффициенты здесь равны 1, −3, −3, 15 и −10. У этого уравнения четыре различных решения: x = 1, 2, √5 и √5. Для этих чисел левая часть уравнения равняется нулю, т. е. правой части. Многочлены первой степени, такие как 7x + 2, называются линейными и содержат только первую степень неизвестного. Уравнения второй степени, такие как x² − 3x + 2 = 0, называются квадратными и содержат вторую степень неизвестного — квадрат. Уравнение окружности содержит вторую переменную y. Однако, если у нас есть второе уравнение, связывающее x и y, к примеру уравнение какой-нибудь прямой, мы можем выразить в нем y через x и преобразовать уравнение окружности так, чтобы оно содержало только x. Это новое уравнение говорит нам о том, где прямая пересекается с окружностью. В данном случае новое уравнение является квадратным и имеет два решения. Так алгебра отражает геометрию, в которой прямая пересекает окружность в двух вполне конкретных точках.

Это свойство алгебры очень существенно влияет на геометрические построения, сделанные при помощи линейки и циркуля. Любое подобное построение, каким бы сложным оно ни было, состоит из последовательности простых шагов. Каждый шаг дает новые точки в местах, где пересекаются две прямые, две окружности или прямая и окружность. Каждая из этих прямых и окружностей определяется ранее построенными точками. Переводя геометрию на язык алгебры, можно доказать, что алгебраическое уравнение, соответствующее пересечению двух прямых, обязательно линейное, а пересечению прямой и окружности или двух окружностей — квадратное. Причина в том, что уравнение окружности содержит x², но не содержит более высоких степеней x. Поэтому каждый отдельный этап построения соответствует решению уравнения первого или второго порядка, не выше.

Более сложные построения представляют собой последовательности этих базовых операций. Некоторое количество алгебраических преобразований позволяет нам сделать вывод, что каждая координата любой точки, которую можно получить геометрическим построением при помощи линейки и циркуля, является решением полиномиального уравнения с целыми коэффициентами, степень которого представляет собой одну из степеней двойки. Это значит, что степень уравнения должна быть равна одному из чисел 1, 2, 4, 8, 16 и т. д.{9} Это необходимое условие существования такого построения. При должном старании из него можно извлечь точную характеристику, которой должен обладать правильный многоугольник, чтобы его можно было построить. Внезапно из сложной геометрической паутины появляется на свет аккуратное алгебраическое условие, причем применимое к любому построению. Необязательно даже знать, что при этом строится: достаточно, чтобы при построении использовались только линейка и циркуль.

Гаусс был знаком с этой элегантной идеей. Он знал также (к такому выводу пришел бы любой компетентный математик), что вопрос о том, какой правильный многоугольник можно построить при помощи линейки и циркуля, сводится к частному случаю, в котором многоугольник имеет простое число сторон. Чтобы понять, почему так происходит, представьте себе составное число, к примеру 15, т. е. 3 × 5. Любое гипотетическое построение правильного 15-угольника автоматически даст нам правильный же треугольник (возьмите каждую пятую вершину) и пятиугольник (каждую третью), как на рис. 6. Приложив еще немного усилий, можно так скомбинировать построения для трех— и пятиугольников, чтобы получить в результате 15-угольник{10}. Числа 3 и 5 — простые, и к ним приложима та же общая идея. Так что Гаусс сосредоточился на многоугольниках с простым числом сторон и задался вопросом о том, на что похоже нужное уравнение. Ответ оказался удивительно изящным. Так, построение правильного пятиугольника эквивалентно решению уравнения x5 − 1 = 0. Замените 5 любым другим простым числом — и соответствующее утверждение тоже будет истинным.

Степень этого многочлена — 5, и это не степень двойки, о которой я говорил; тем не менее построить правильный пятиугольник можно. Гаусс быстро определил, почему: это уравнение раскладывается на две части — первого и четвертого порядка. И 1, и 4 являются степенями двойки; оказывается к тому же, что ведущую роль здесь играет уравнение четвертой степени. Чтобы понять, почему нам следует связать это уравнение с геометрией, придется привлечь новый тип числа, который обходит вниманием школьная математика, но без которого на любом более высоком уровне не обойтись. Речь идет о комплексных числах; их определяющим свойством является то, что в системе комплексных чисел из −1 можно извлечь квадратный корень.

Обычное «действительное» число может быть положительным и отрицательным, но его квадрат в том и другом случае положителен, так что −1 не может быть квадратом какого бы то ни было действительного числа. В некоторых случаях это сильно мешает; математики даже изобрели новый тип «воображаемого», или «мнимого», числа, квадрат которого равен −1. Нужно было как-то обозначить это новое число, для чего воспользовались первой буквой слова imaginary (воображаемый) — i. Обычные алгебраические операции — сложение, вычитание, умножение, деление — привели к возникновению комбинаций действительных и мнимых чисел, таких как 3 + 2i. Такие числа называют комплексными, что вовсе не означает «сложные», а просто указывает на то, что они состоят из двух частей: 3 и 2i. Если действительные числа располагаются на известной числовой прямой, как числа на линейке, то комплексные числа лежат на числовой плоскости, на которой мнимая ось располагается под прямым углом к действительной, а вместе они образуют систему координат (см. рис. 7, слева).