Чтобы разобраться в существе дела, нам придется начать с более простой концепции. В математике существует важное различие между числами, которые можно точно выразить при помощи дроби p/q, где p и q — целые числа, и числами, которые невозможно выразить таким образом. Первые называются рациональными (поскольку представляют собой отношение, т. е. ratio, целых чисел), а последние — иррациональными. Так, приближенное значение π(22/7) рационально. Существуют и более точные приближения; знаменитое 355/113 соответствует π до шестого знака после запятой. Однако известно, что никакая дробь не может выразить π точно; число π иррационально. Это свойство, о котором математики давно догадывались, первым доказал швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт в 1768 г. Его доказательство основано на хитрой формуле для функции тангенса в тригонометрии, где тангенс выражается в виде цепной (непрерывной) дроби — бесконечного множества обычных дробей{15}. В 1873 г. Шарль Эрмит нашел более простое доказательство, основанное на аналитических формулах, которое доказало иррациональность не только π, но и π². Так что π помимо всего прочего не является корнем квадратным из какого-то рационального числа.

Ламберт выдвинул и более серьезные гипотезы. В той же статье, где доказывалась иррациональность π, он предположил, что число π трансцендентно, т. е. не является решением никакого полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Оно выходит за рамки алгебраического выражения. Более поздние исследования доказали правоту Ламберта. Сделано это было в два этапа. Разработанный Эрмитом новый метод доказательства иррациональности подготовил площадку, намекнув, что удачной стратегией здесь может оказаться исчисление, а точнее, его более строгая версия — анализ. Но Эрмит развил эту идею дальше и нашел чудесное доказательство трансцендентности другого знаменитого и очень любопытного числа e — основания натуральных логарифмов. Численно e приблизительно равно 2,71828, и, пожалуй, оно еще важнее, чем π. Эрмитово доказательство трансцендентности волшебно, как кролик, с помпой извлекаемый фокусником из цилиндра математического анализа. Сам кролик — это сложная формула, связанная с гипотетическим алгебраическим уравнением, корнем которого, согласно первоначальному предположению, является e. При помощи алгебраических методов Эрмит доказывает, что эта формула эквивалентна некоему ненулевому целому числу. При помощи математического анализа он доказывает, что число это должно лежать между −1/2 и 1/2. Поскольку единственным целым числом в этом интервале является 0, получаем противоречие. Следовательно, предположение о том, что e является решением некоего алгебраического уравнения, неверно, а значит, e трансцендентно.

В 1882 г. Фердинанд фон Линдеман несколько усовершенствовал метод Эрмита и доказал, что если ненулевое число является решением некоего алгебраического уравнения, то e в степени этого числа не является решением никакого алгебраического уравнения. Затем он воспользовался соотношением, известным еще Эйлеру и связывающим π, e и мнимое число i, — знаменитой формулой eiπ = −1. Предположим, что π удовлетворяет некоему алгебраическому уравнению. То же можно сказать и про iπ, а по теореме Линдемана получим, что −1 не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению. Это очевидно неверно: −1 является решением уравнения x + 1 = 0. Единственный выход из этого логического противоречия заключается в том, что π не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению, т. е. π трансцендентно. А это означает, что задача квадратуры круга неразрешима.

Путь от евклидовой геометрии к доказательству Линдемана получился долгим и кружным. Но математики, хоть и через две с лишним тысячи лет, все же добились своего. Однако вся эта история не просто сообщает нам о невозможности квадратуры круга. Это наглядный урок того, как вообще решаются великие математические задачи. Во-первых, математикам потребовалось точно сформулировать, что они имеют в виду, говоря о «геометрическом построении». Им пришлось определить общие черты таких построений и понять, как эти черты ограничивают возможности построений. Для поиска общих свойств потребовалось связать геометрию с другой областью математики — алгеброй. Но при решении алгебраических задач, даже не самых сложных, таких как построение правильных многоугольников, не обойтись без теории чисел. Сложный случай числа π потребовал дополнительных новшеств, и задачу пришлось перенести в еще одну область математики — математический анализ.

Ни один из перечисленных шагов не был простым или очевидным. Уже после того, как основные идеи были высказаны, потребовалось еще около 100 лет, чтобы окончательно доработать доказательство. Математики, бившиеся над этой задачей, были лучшими умами своего времени, а по крайней мере один из них входит в число величайших умов всех времен. Решение подобных задач помимо глубокого понимания математики требует настойчивости и изобретательности. Иногда на это уходят годы сосредоточенных усилий, на первый взгляд, по большей части бесплодных. Но представьте, что чувствует математик, когда его настойчивость приносит плоды, и ему наконец удается расколоть крепкий орешек, над которым человечество билось не один век. Как сказал президент Джон Кеннеди в 1962 г. в одной из речей, посвященных Лунной программе, «мы решили… это сделать… не потому, что это просто, а потому, что это сложно».

Мало что в математике имеет конец, и история числа π — не исключение. И сегодня время от времени появляются поразительные новые открытия, имеющие к нему отношение. В 1997 г. Фабрис Беллар объявил, что триллионная цифра числа π в двоичном выражении — единица. Замечательным это заявление делает не собственно факт. Поразительно то, что он не вычислял ни одной из предыдущих цифр. Он просто извлек одну конкретную цифру, что называется, из воздуха.

Такой расчет оказался возможен благодаря любопытной формуле для π, которую открыли Дэвид Бэйли, Питер Боруэйн и Саймон Плафф в 1996 г. Она может показаться несколько сложноватой, но все же посмотрим:

Большой знак ∑ означает «просуммировать» на заданном диапазоне. Здесь n изменяется от 0 до бесконечности (∞). На самом деле Беллар пользовался формулой, которую вывел сам с использованием аналогичных методов и расчет по которой ведется чуть быстрее:

Ключевая особенность этих формул в том, что многие из используемых в них чисел — 1, 4, 32, 64, 256, а также 24n и 210n — являются степенями двойки, что, конечно, сильно упрощает расчеты в двоичной системе, которая используется для внутренних операций в компьютерах. После этого открытия хлынул целый поток новых формул для π и некоторых других интересных чисел. Рекорд вычисления одиночных двоичных цифр числа π обновляется регулярно: в 2010 г. Николас Ши из Yahoo рассчитал двухквадрильонную двоичную цифру π, которой оказался 0.