Несмотря на свою фантастическую сложность, множество Мандельброта описывается очень простым правилом, которое применяется снова и снова до бесконечности. Суть правила такова: нужно взять число, возвести его в квадрат, а затем прибавить к некоему фиксированному числу. Результат надо подставить в ту же формулу и процесс повторять снова и снова, итерацию за итерацией. Числа эти компле́ксные, то есть каждое из них состоит из двух частей, одна из которых представляет собой действительное число, а вторая – так называемое “мнимое” (число, помноженное на квадратный корень из –1). Изображение фрактала получается, когда действительная и мнимая части каждого числа выводятся в виде графика.

Остановимся на этом подробнее. Предположим, что мы начинаем с комплексного числа z и постоянной с, также являющейся комплексным числом. Выбрав значение для z, мы применяем к нему правило “умножить z само на себя и прибавить c”, то есть “z2 + c”. В результате получаем новое значение z, к которому снова применяем то же правило, чтобы получить следующее значение z. Некоторые из значений z не меняются совсем, другие через сколько-то повторений возвращаются к первоначальному значению. Любое из неменяющихся или повторяющихся циклически значений называется устойчивым в том случае, если при очень небольшом изменении z образующиеся новые значения лежат на траектории, очень близкой к исходной. Это примерно как с мячиком: на дне ямы он устойчив, качни его – и он откатится на прежнее место. А вот с вершины горы при малейшем толчке покатится вниз, поэтому его положение там неустойчиво.

Устойчивые точки – из тех, что не меняются или повторяются циклически, – называются аттракторами. Есть другие, которые могут вначале находиться далеко от аттрактора, но с каждой итерацией приближаются к нему все больше. Они образуют “область притяжения” комплексного числа c. Есть и такие, что постепенно удаляются, расходясь в бесконечность. Граница области притяжения называется множеством Жюлиа для числа c. Множества Жюлиа названы так в честь французского математика Гастона Жюлиа, который вместе со своим соотечественником Пьером Фату в 1900-х годах положил начало исследованиям голоморфной динамики. Если выполнять итерации для любой точки из множества Жюлиа, получившиеся новые точки также будут находиться во множестве Жюлиа, но могут передвигаться по нему, не встраиваясь в циклически повторяющийся рисунок[17].

Простейшее множество Жюлиа образуется при c = 0, поскольку в этом случае правило получения новых значений z упрощается до требования “умножить z само на себя”. Что происходит с комплексным числом z, если выполнять для него итерации таким образом? Если сначала оно находится внутри единичной окружности (окружности с радиусом, равным 1) с центром в точке 0, то оно станет стремительно приближаться по спирали к 0. Если z находится вне этой окружности, то оно станет быстро удаляться по спирали же в бесконечность. Таким образом, множество Жюлиа – это граница единичного круга; область притяжения – все, что находится внутри нее; а аттрактор – это точка 0. Представьте, что множество Жюлиа для c = 0 – это стальной шарик, расположенный точно посередине между двумя магнитами. Шарик будет недвижим (оставаясь внутри множества Жюлиа, хотя на практике z может непредсказуемо перемещаться в границах множества), но если его хоть чуть-чуть сместить в сторону, он тут же притянется к одному из магнитов. В нашем случае один магнит – это точка 0, а второй – бесконечность.

Ничего особенно интересного в этом множестве Жюлиа нет, да и фракталом оно, конечно, не является. Но вот при значениях c, отличных от нуля, множества Жюлиа действительно образуют фракталы, причем самой различной формы. Иногда множество Жюлиа связно, иногда – нет. Когда оно несвязно, оно распадается в так называемую “пыль Фату”, которая, как можно догадаться по названию, представляет собой облако из разобщенных точек. Пыль Фату – это тоже фрактал, с размерностью менее 1.

Множество Мандельброта – это набор всех значений c, при которых множество Жюлиа является связным. Это один из самых узнаваемых фракталов, притом что опознать в нем фрактал довольно сложно. Хотя множество Мандельброта связно, можно заметить маленькие крапинки, которые кажутся совершенно изолированными, но в действительности соединены с ним тончайшими “нитями”. При увеличении эти крапинки оказываются уменьшенными изображениями полного множества Мандельброта, что может поначалу показаться удивительным, но на самом деле вполне соответствует тому, что мы знаем о природе фракталов. Однако эти ответвления – не точные копии множества, и среди них нет двух абсолютно идентичных. И это по праву считается одной из самых примечательных черт множества Мандельброта. Если увеличить любую точку на его границе, оно начинает все больше и больше походить на множество Жюлиа, соответствующее этой точке. Множество Мандельброта, являющееся единым фракталом, содержит в себе бесконечное число совершенно непохожих друг на друга фракталов в виде гигантского массива множеств Жюлиа, расположенных вдоль его границы. И действительно, множество Мандельброта иногда даже называют каталогом множеств Жюлиа. Его граница так невероятно сложна, что оказывается двумерной, хотя и предполагается, что ее площадь равна нулю.

Фракталы зачастую воплощают собой незамысловатый, но парадоксальный принцип: крайне простые правила позволяют получать фантастически сложные структуры и узоры. Снежинка Коха создается по правилу, понятному даже ребенку (всего-то нужно построить равносторонний треугольник на средней трети каждого из отрезков), и тем не менее имеет очень замысловатую, хоть и регулярную структуру. Множество Мандельброта во много крат сложнее, но его рецепт опять-таки обезоруживающе прост: начинаем с функции z2 + c, а потом, изучая свойства получаемых значений и отфильтровывая те, что не отвечают заданным критериям, постепенно строим безумно сложный фрактал, в различных точках выглядящий совершенно по-разному. Используя компьютер в качестве микроскопа, можно увеличивать любую часть множества Мандельброта и обнаруживать нескончаемый ряд вложенных друг в друга узоров, ни разу в точности не повторяющихся.

У фракталов есть еще одна интересная особенность. Как мы уже знаем, фрактальная размерность снежинки Коха равна 1,26, что дает нам некоторое представление о степени “шероховатости” линии или о том, насколько хорошо она заполняет плоскость. Если взять произвольную линию, пересекающую снежинку Коха, такое пересечение почти всегда само представляет собой фрактал с размерностью 0,26. (Есть несколько случаев вырождения, таких как пересечение по оси симметрии, когда получаются две изолированных точки с фрактальной размерностью 0.) Это верно для любого фрактала с размерностью от 1 до 2 включительно. Например, почти все линии, пересекающие границу множества Мандельброта, образуют фракталы с размерностью 1, хоть они и состоят из разрозненных точек и имеют длину 0.