Если проделать то же с фракталами размерностью менее 1, происходит нечто иное. Любой из таких фракталов представляет собой облако из изолированных точек. Пример – пыль Фату. Удивительно, но почти все прямые, которые пересекают пыль Фату, имеют с ней лишь одну общую точку, образуя фрактал размерности 0, тогда как почти все прямые в целом, даже если ограничиться только теми, что проходят через пыль Фату, с ней не пересекаются.

Все эти фракталы существуют в двумерном пространстве. Но можно найти фракталы и в одномерном пространстве: они представляют собой разрозненные облака точек и имеют размерность 1 или меньше. Самый известный пример одномерного фрактала – канторово множество. Начнем с отрезка. Удалим у него среднюю треть, оставив два крайних отрезка. Будем проделывать то же снова и снова. В конце концов от всех отрезков остаются только отдельные точки, составляющие фрактал с размерностью приблизительно 0,63.

С фракталами тесно связано еще одно явление в математике, называемое хаосом. И то и другое задается итерированными функциями, то есть набором циклически применяющихся правил. На каждом этапе состояние, возникшее в результате предыдущей итерации, используется в качестве аргумента той же функции для получения следующего состояния. В случае с фракталами итерации приводят к возникновению повторяющихся или почти повторяющихся узоров, которым нет конца, сколько бы мы ни увеличивали масштаб. Отличительными чертами хаоса являются сложность, в которой отсутствуют какие бы то ни было повторяющиеся узоры, и крайняя чувствительность к изменениям начальных условий, или начального состояния системы.

Само слово “хаос” имеет греческое происхождение и исходно означало “разверстую бездну”, “беспредельное пространство”. В классическом и мифологическом представлении о сотворении мира хаосом называли бесформенное состояние, из которого возникла вселенная. В математике и физике хаос, или хаотическое состояние, равнозначен случайности или отсутствию упорядоченности. Но в теории хаоса речь о другом. Она описывает поведение нелинейных динамических систем при определенных условиях. Знакомый нам пример – капризы погоды. Сегодня мы легко можем предсказывать погоду на ближайшее время – на пару дней или неделю, и в большинстве случаев правильно. Но достоверно спрогнозировать погоду на более долгий срок – скажем, на месяц – невозможно. И причина тому – хаос.

Предположим, мы приняли какие-то погодные условия за начальные. Исходя из них, мы можем вычислить прогноз на будущее. Однако стоит нам хоть слегка скорректировать начальные условия, и наш прогноз очень скоро изменится до неузнаваемости. Именно этот факт подтолкнул американского математика и метеоролога Эдварда Лоренца к открытию хаоса. Как-то в 1950-х годах, работая с математически упрощенной моделью погоды, он ввел в свой компьютер данные и построил график, но тут его прервали. Вернувшись к работе, он решил не начинать вычисления с начала (это отняло бы слишком много времени), а запустил процесс моделирования с середины, вручную введя в компьютер рассчитанные ранее промежуточные данные. Полученная кривая поначалу соответствовала предыдущей, но вскоре стала все больше отклоняться от нее, словно бы это был совершенно новый график. Причина оказалась в том, что в памяти компьютера хранится больше десятичных знаков, чем в выводимых им округленных значениях. Когда Лоренц перезапустил программу с середины, эти “лишние” знаки учтены не были, поэтому введенные заново данные неуловимо отличались от первоначально полученного результата. В процессе вычислений эти отличия становились все более очевидными, пока не вылились в значительное отклонение. Этот случай привел к открытию принципа, который Лоренц назвал “эффектом бабочки”, имея в виду, что сегодняшний взмах крыльев бабочки может через месяц привести к урагану.

Того же эффекта, когда в определенный момент регулярность и предсказуемость уступают место хаосу, можно добиться и с помощью уравнений более простых, чем те, что используются при моделировании погоды. Возьмем некое значение x, которое может быть любым числом от 0 до 1 включительно. Затем умножим x на (1 – x) и на постоянную k, которая может быть любым числом от 1 до 4 включительно. Полученное значение x снова подставим в эту же формулу, и так снова и снова. На математическом языке можно записать то, что мы делаем, в виде x → kx(1 – x) для 0 ≤ x ≤ 1 и 1 ≤ k ≤ 4. Выполняя эти действия, мы обнаружим, что для значений k, меньших или равных 3, существует аттрактор, состоящий из одной точки, к которому стремятся все значения x (кроме 0 и 1). Для значений k от 3 до 3,45 аттрактор состоит из двух чередующихся точек. При значении k в диапазоне от 3,45 до 3,54 аттрактор состоит из четырех точек, потом их становится восемь и так далее, причем количество точек удваивается все чаще и чаще. При значении k, равном приблизительно 3,57, происходит существенное изменение, после которого удвоение уже не учащается, а происходит бесконечное количество раз. На этом этапе система уже не может стабилизироваться и становится абсолютно хаотичной. Хаос возникает в момент, когда предсказуемая система становится полностью непредсказуемой. Например, в нашем случае при значении k, меньшем 3, легко предсказать, что после, скажем, ста итераций точка окажется очень близко к единственному аттрактору. При значениях k, превышающих 3,57, уже невозможно предсказать, как поведет себя в отдаленном будущем та или иная точка.

Процессом удвоения точек аттрактора (от одной к двум, от двух к четырем и так далее), который мы наблюдали, когда значение k в нашем примере превысило 3, управляет важная математическая постоянная, называемая константой Фейгенбаума. Увидеть, как эта важная константа возникает, можно на этапах, предшествующих хаосу. Первая фаза, с циклом в одну точку, имеет длину 2, поскольку длится от k = 1 до k = 3. Вторая фаза, с циклом в две точки, имеет длину приблизительно 0,45, так как длится от k = 3 до k = 3,45. Отношение 2:0,45 равно примерно 4,45. Третья фаза имеет длительность около 0,095. Отношение 0,45: 0,095 приблизительно равно 4,74. И так далее. Эти отношения стремятся к константе Фейгенбаума, которая приблизительно равна 4,669. Длительность фаз сокращается экспоненциально, так что к моменту, когда k достигает 3,57, цикл повторяется бесконечное количество раз.

Константа Фейгенбаума выявляется в результате процесса, который мы только что рассмотрели, но ее фундаментальность для теории хаоса в том, что она обнаруживается во всех аналогичных хаотических системах. Какое уравнение ни возьми (если только оно отвечает определенным базовым условиям), оно будет иметь циклы, длина которых изменяется вдвое в соответствии с константой Фейгенбаума.

Чтобы увидеть, как хаотические процессы приводят к образованию фракталов, можно взять тот же итеративный процесс и нанести на сетку координат аттракторы для каждого значения k. Бо́льшая часть из того, что появляется после k = 3,57, – чистый хаос, но есть несколько значений k, для которых существует конечный аттрактор. Их называют “островами стабильности”. Один из таких островов образуется при значении k, близком к 3,82. В этом месте мы обнаруживаем аттрактор, состоящий всего из трех значений. Приблизив на графике любое из этих значений, мы видим рисунок, очень похожий на весь график в целом, хоть и не повторяющий его в точности.