Другие талантливые математики XV–XVI вв. сумели создать собственные тригонометрические таблицы, зачастую поражающие своей точностью. Георг Иоахим Ретик вычислил синусы для окружности с радиусом 1015, причем очень точно, вплоть до 15-го знака после запятой, но умножал все числа на 1015, чтобы получить целые значения – для всех кратных с шагом в одну секунду дуги. Он открыл закон для сферических треугольников:

а также закон для косинусов

в своем «Трактате о сферических треугольниках», написанном в 1562–1563 гг., но опубликованном только в 1596 г. Здесь буквы A, B и C обозначают углы треугольника, при этом а, b и c – его стороны, измеренные по углам, которые они образуют с центром сферы.

Виет создал много трудов по тригонометрии, из которых первым был «Математический канон», изданный в 1579 г. Он обобщил и систематизировал разные методы решения треугольников, а именно определение длины всех его сторон и величины углов исходя из другой информации о нем. Он открыл новые тригонометрические тождества, в том числе несколько интересных выражений для синусов и косинусов углов, кратных θ, представленных через синус и косинус угла θ.

Второй темой этой главы были заявлены логарифмы, или log x, одна из важнейших функций в математике. Прежде всего они были важны, потому что удовлетворяли уравнению

и тем самым могли использоваться для преобразования умножения (очень трудоемкого действия) в сложение. Чтобы перемножить две величины x и y, сперва надо найти их логарифмы, сложить их и затем найти число, логарифм которого является результатом этого сложения (антилогарифм). Это и будет произведение ху.

Как только математики составили таблицы логарифмов, они стали доступны любому, кто знаком с методом. С XVI в. вплоть до середины XX в. практически все научные вычисления, особенно астрономические, использовали логарифмы. Однако уже с 1960-х электронные калькуляторы и компьютеры потеснили логарифмы, сделали их ненужными. Но сама концепция остается жизненно важной для математики: логарифмы прочно занимают ведущие роли во многих отраслях этой науки, включая исчисление и комплексный анализ. Кроме того, многие процессы в физике и биологии были описаны в логарифмических функциях.

Современный взгляд на логарифмы определяет их как функцию, обратную показательной. Используя логарифмы с основанием 10, что вполне естественно для десятичной системы счисления, мы говорим, что x является логарифмом y, если y = 10x. Например, поскольку 103 = 1000, логарифм 1000 (с основанием 10) равен 3. Главное свойство логарифмов определяется свойством показательной функции:

Но чтобы логарифмами можно было пользоваться, необходимо уметь найти соответствующий x для всякого положительного вещественного y. Согласно утверждению Ньютона и большинства ведущих ученых того времени, главная идея состояла в том, что любое рациональное число 10p/q можно определить как корень q-й степени из 10p. Поскольку любое вещественное число x может сколько угодно близко быть приближенным рациональным числом p/q, мы можем приблизить 10x с помощью 10p/q. Это не самый эффективный способ вычислить логарифм, но самый простой способ доказать его существование.

Исторически изобретение логарифмов шло совсем не так гладко. У его истоков стоит шотландец Джон Непер, барон Мерчистон. Он всю жизнь увлекался самыми эффективными методами вычислений и в итоге сам изобрел знаменитые палочки Непера (или кости Непера). Начиная с 1594 г. он переходит в более отвлеченную область науки, и ему потребовалось 20 лет, чтобы подготовить свой труд к публикации. Судя по всему, он начал исследования с геометрических прогрессий – последовательностей чисел, где каждое последующее является произведением предыдущего на один и тот же множитель. Например, возведение в степень числа 2:

или степени десятки:

Уже давно было замечено, что сложение показателей степени эквивалентно перемножению степеней. Это удобно, если вы перемножаете две целые степени числа 2 или, например, две целые степени 10. Но между этими числами большой разрыв, и степени 2 или 10 не очень помогут, если придется перемножать, например, 57,681 и 29,443.

Стороны и углы треугольника

Пока доблестный барон упорно искал способ заполнить разрывы в геометрических прогрессиях, лейб-медик шотландского короля Якова VI Джеймс Крейг рассказал Неперу об открытии, широко известном в Дании, с громоздким названием «простаферезис». Он применялся к любому способу, который заменял умножение на сложение. Главный метод его практического применения был основан на формуле, открытой Виетом: