Имея таблицу синусов и косинусов, вы легко примените эту формулу для преобразования умножения в сложение. И хотя дело получалось хлопотное, но вычисления занимали меньше времени, чем если бы числа перемножались напрямую.

Непер ухватился за эту идею и развил ее. Он составил геометрические последовательности со знаменателем прогрессии, максимально близким к 1. Тогда вместо степеней 2 или 10 вы должны были использовать, скажем, степени 1,0000000001. Последовательность степеней такого числа очень близка и не зияет неудобными разрывами. По какой-то причине Непер выбрал знаменатель немного меньше 1, точнее, 0,9999999. Так его геометрическая последовательность обратилась назад, от больших чисел ко всё более малым. Фактически он начал с 10 000 000 и затем умножал его на последовательность степеней от 0,9999999. Если мы запишем Naplog x для неперовского логарифма x, получим любопытные результаты:

Naplog 10 000 000 = 0,

Naplog 9 999 999 = 1

и т. д. Так логарифмы Непера, или Naplog x, удовлетворяют уравнению

Naplog (107xy) = Naplog (x) + Naplog (y).

Вы можете использовать их для подсчетов, потому что умножать и делить на степени 10 проще, но тогда потеряете в изяществе. Но это в любом случае гораздо лучше, чем тригонометрическая формула Виета.

Очередной важный шаг вперед был сделан на встрече Непера и приехавшего к нему Генри Бригса, первого савильского профессора геометрии в Оксфордском университете.

Бригс предложил заменить идею Непера на более простую: десятичный логарифм (с основанием 10), L = log10 x, удовлетворяющий формуле

Тогда

и всё становится намного проще. Чтобы найти x, достаточно сложить логарифмы x и y и затем найти антилогарифм результата.

Непер скончался до того, как эти идеи получили распространение, в 1617 г., когда только-только увидела свет его «Рабдология», посвященная счетным палочкам. Его авторский способ вычисления логарифмов, «Описание удивительной таблицы логарифмов» (Mirifici Logarithmorum Canonis Decriptio), издали два года спустя. Бригс взят на себя задачу составить таблицу «бригсовских» (десятичных, с основой 10) логарифмов. Он начал с равенства log10 10 = 1 и последовательно брал квадратные корни. В 1617 г. он опубликовал таблицы Logarithmorum chilias prima («Первая тысяча логарифмов»), с 14-значными логарифмами для целых чисел от 1 до 1000. Изданный в 1624 г. труд Arithmetica logarithmica содержал таблицы десятичных 14-значных логарифмов для целых чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000.

Схема эпицикла. Планета P равномерно вращается вокруг точки D, которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг точки С

Идея росла, как снежный ком. Джон Спайделл вычислил логарифмы тригонометрических функций (таких как log sin x) и опубликовал свои «Новые логарифмы» в 1619 г. Швейцарский мастер-часовщик Йост Бюрги опубликовал свой труд о логарифмах в 1620 г. и вполне мог сам развить эту идею еще в 1588 г., задолго до Непера. Но история математики зиждется на том, что ученые успели опубликовать – буквально сделать доступным для публики, – а идеи, остававшиеся под спудом, не могли повлиять на развитие науки в целом. В итоге первенство (возможно, по праву) отдается смельчакам, которые запечатлели свои открытия в печатных трудах или по крайней мере в активной переписке (исключение составляют люди, издававшие идеи других как собственные, не имея на то права. Как правило, они остаются за кулисами).

В тесной связи с предложенной Непером версией логарифмов всегда рассматривается одно из важнейших чисел в математике, известное нам под обозначением e. Его величина приблизительно равна 2,71828. Оно получится, если мы попытаемся перейти от логарифмов к геометрической прогрессии со знаменателем чуть больше 1. Это приведет к выражению (1 + 1/n)n, где n – очень большое целое число, и чем оно больше, тем ближе это выражение к одному определенному числу, которое мы обозначаем е.

Эта формула предполагает, что у логарифма существует натуральное основание, причем это не 10 или 2, а именно е. Натуральный логарифм числа x – это число у, которое удовлетворяет условию x = ey. Сегодня математики натуральный логарифм записывают так: y = ln x. Иногда математики обозначают основание е натурального логарифма: y = loge x, но в школьном курсе математики его обычно опускают, поскольку для высшей математики и науки важен именно натуральный логарифм. Десятичные логарифмы наиболее удобны для вычислений в десятичной системе, но в фундаментальной математике важнее натуральные.

Выражение ex называется экспонентой x, и его по праву можно назвать одним из основополагающих понятий математики. Число e – одно из тех необычных чисел, что так любят математики, и играет огромную роль. Другим таким числом, несомненно, является π. Это верхушка айсберга – потому что есть еще много других знаменитых чисел. Их также по праву можно считать самыми важными и особенными, встречающимися повсюду на бескрайнем математическом ландшафте.

Наверное, невозможно переоценить долг человечества перед неведомыми предками, изобретшими логарифмы и тригонометрию и потратившими годы на составление численных таблиц. Их усилия обеспечили качественно иной взгляд на мир, не говоря уже о путешествиях по миру и торговле, получивших методы точной навигации и картографии. На тригонометрических вычислениях основана вся геодезия. Даже сейчас, когда геодезисты пользуются лазерными приборами и производят вычисления с помощью сверхскоростных электронных чипов, концепции построения самих лазеров и чипов уходят корнями в ту самую тригонометрию, что не давала покоя математикам древних Индии и Аравии.