– Вероятность того, что Алекс опоздает на работу при условии, что на межштатной автомагистрали 75 будет пробка (П), составляет 50 %. P(A | П) = 50 %.

Как видите, вероятность наступления события сильно зависит от предшествующего ему события или событий.

Когда вероятность наступления одного события не зависит от наступления другого, эти события считаются независимыми. Например, условная вероятность выбора карты пиковой масти из колоды карт при условии выпадения орла при подбрасывании монеты P(П | О) равна вероятности выбора карты пиковой масти самого по себе, P(П). Короче говоря, P(П | О) = P(П), и точно так же P(О | П) = P(О), потому что между этими событиями нет никакой зависимости. Колоде карт все равно, что произошло с монетой, и наоборот.

Вероятность наступления множества событий

При моделировании вероятности наступления множества событий нотация и правила зависят от того, происходят ли они одновременно (наводнение и отключение электричества) или происходит только одно из них (или наводнение, или отключение электричества).

Одновременное наступление двух событий

Сначала поговорим о двух событиях, наступающих одновременно.

P(выпадения орла при подбрасывании монеты) = P(О) = 1/2.

P(выбора карты пиковой масти из колоды карт) = P(П) = 13/52 = 1/4.

Вероятность того, что произойдет и то и другое, то есть выпадение орла и выбор карты пиковой масти, можно обозначить как P(О, П). При этом запятая означает «и».

В этом случае события являются независимыми. Одно событие не влияет на другое. Когда события являются независимыми, вероятности их наступления можно перемножить: P(О, П) = P(О) × P(П) = 1/2 × 1/4 = 1/8 = 12,5 %. Тут все довольно просто.

Теперь рассмотрим чуть более сложный пример. Как вы помните, вероятность того, что Алекс опоздает на работу, составляет 5 %, P(A) = 5 %. А вероятность того, что Джордан опоздает на работу, составляет 10 %, Р(Д) = 10 %. Что вы можете сказать о вероятности того, что мы оба опоздаем на работу, P(A, Д)? Уточним, что мы живем в разных штатах, Алекс работает в офисе с 9 до 5, а Джордан – фрилансер[48].

Первое предположение: P(A, Д) = P(A) × P(Д) = 5 % × 10 % = 0,5 %. Вероятность довольно низкая, но действительно ли эти два события независимы друг от друга? Поначалу может показаться, что так и есть, поскольку мы живем и работаем в разных местах. И все же эти события не являются независимыми. В конце концов, мы вместе пишем книгу. Мы оба могли опоздать на работу, потому что накануне вечером допоздна спорили о лучшем способе объяснения концепции вероятности. Таким образом, вероятность опоздания Алекса зависит от опоздания Джордана. Поэтому здесь речь идет об условной вероятности. Предположим, что вероятность опоздания Алекса при условии опоздания Джордана составляет 20 %, P(A | Д) = 20 %.

Это дает нам истинную формулу вероятности одновременного наступления этих двух событий, называемую правилом умножения. Ее можно записать следующим образом: P(A, Д) = P(Д) × P(A | Д) = 10 % × 20 % = 2 %. Это значит, что вероятность одновременного опоздания Алекса и Джордана равна вероятности опоздания Джордана, умноженной на вероятность того, что Алекс опоздает при условии опоздания Джордана.

Итоговая вероятность, 2 %, никогда не может превышать наименьшую из отдельных вероятностей, P(A) и P(Д), которая в данном случае составляет 5 % для Алекса. Это объясняется тем, что у Алекса есть 5 %-ный шанс опоздать во всех возможных сценариях, включая те, в которых опаздывает Джордан.

Это подводит нас к важному правилу теории вероятностей: вероятность одновременного наступления любых двух событий не может превышать вероятность наступления каждого из них в отдельности.

На рис. 6.1 это правило проиллюстрировано с помощью диаграммы Венна. Если представить вероятность в виде области пересечения или перекрытия кругов (событий), становится очевидно, что площадь области перекрытия кругов А и Д не может превышать площадь самого маленького круга.

Наступление одного или другого события

Что, если наступает одно или другое событие? Статистика и теория вероятностей учит нас тому, что все зависит от обстоятельств. Начните с предположения и корректируйте его, опираясь на имеющуюся информацию.

Когда два события не могут произойти одновременно, все сводится к простому сложению вероятностей. При бросании кубика не может одновременно выпасть 1 и 2, поэтому вероятность выпадения 1 или 2 равна P(К == 1 или К == 2) = P(К == 1) + P(К == 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Рис. 6.1. Диаграмма Венна, показывающая то, что вероятность одновременного наступления двух событий не может превышать вероятность наступления каждого из них в отдельности

Рассмотрим чуть более сложный пример с авторами-прогульщиками и вместо определения вероятности того, что на работу опоздают и Алекс, и Джордан, вычислим вероятность опоздания Алекса или Джордана, то есть P(А или Д).

Вам известно, что P(А) = 5 %, а P(Д) = 10 %. Первым разумным предположением может быть: P(А) + P(Д) = 15 %. За 100 дней Алекс опоздает 5 раз, а Джордан – 10. Если мы сложим эти значения, то получим 15 дней, что составляет 15 % от 100. Если бы события были взаимоисключающими и никогда не происходили одновременно, это предположение было бы корректным.

Однако помните о том, что мы оба можем опоздать (см. рис. 6.1.). Иногда мы опаздываем на работу друг из-за друга, то есть вероятность того, что опоздают и Алекс, и Джордан, P(А, Д), превышает 0. Мы не можем просто сложить обе вероятности, потому что при этом были бы дважды учтены дни, в которые мы оба опаздываем. Чтобы это компенсировать, мы должны вычесть вероятность того, что мы оба опоздаем на работу после ночного обсуждения книги, которая составляет P(А, Д) = 2 %. В итоге мы имеем вероятность опоздания 5 % для Алекса, 10 % для Джордана, минус 2 %, когда опаздывают оба: 5 + 10–2 = 13 и 13/100 = 13 %.

Отталкиваясь от этого, мы можем сформулировать правило сложения вероятностей для случая, когда наступает одно или другое событие: P(А или Д) = P(А) + P(Д) – P(А, Д) = 5 % + 10 % – 2 % = 13 %.

Помните о пересечении

При вычислении вероятности наступления множества событий некоторые испытывают сложности с вычитанием пересекающейся области. Однако делать это необходимо, поскольку вероятность никогда не может превышать 1. Давайте снова обратимся к простому примеру с бросанием кубика. Вероятность выпадения числа, большего