«Введение» открывается прославлением арифметики в знакомых сегодня понятиях, утверждается существование науки по разумению Господа как образца или архетипического эталона для материального воплощения. Следовательно, число предстает истинной вечной сущностью. Затем следует определение числа и математическое объяснение исключения 1 и 2 из десятичной системы.

Основное содержание книги посвящено рациональным приемам вычисления, сопровождается классификацией чисел, совершенных, полных и неполных. Далее следует четыре определения четности и нечетности. Иначе говоря, четных, нечетных, двойных четных и кратных двум, но не кратных четырем (или четного числа, содержащего нечетный фактор, делящегося на 2 и 3, например 24), а также простых и относительного простых чисел. Заметим, простое число делится только на само себя и единицу. Относительно простое имеет два делителя, которые не имеют общего делителя и не могут делиться друг на друга, например 21 и 25. Наконец, рассматриваются приемы записи многозначных чисел.

Завершается книга обсуждением пропорций. Автор выявляет 10 различных пропорций, «составляющих число 10, которое, в соответствии с пифагорейской точкой зрения, является самым совершенным из всех возможных».

Труд Никомаха приобрел известность в римском мире вскоре после его смерти или, возможно, раньше благодаря некоему Апулею из Мадавры, который, как утверждают Кассиодор и Исидор Севильский, впервые перевел греческое «Введение» на латинский. Во всяком случае, «Введение» почти буквально воспроизведено в «Арифметике» Капеллы (De nuptiis, VII), трудах Боэция, Кассиодора, Исидора, Бэды, Алкуина, Герберта и Хьюго из Сен-Виктора.

Книга Боэция оставалась стандартным учебником в церковных школах на протяжении Средних веков, равно как «Руководство по семи искусствам» Капеллы. Несмотря на настороженное отношение к нему из-за обилия языческих аллегорий, установленных Эриугеной[8], практически все стали следовать его композиции, почитая ее образцовой.

Вдохновленные сочинениями Августина, средневековые философы и теологи осознали чисто математические аспекты числа и его божественное происхождение. Иннокентий III включил в проповедь лекцию, посвященную уменьшительным формам, точному и полному числам.

Алкуин объяснял, что второе рождение расы людей произошло благодаря недостаточному числу 8, в ковчеге Ноя находилось восемь душ, отчего второе рождение оказалось не столь совершенным, как первое, и завершилось за семь дней. Обсуждая последний факт, Рабан пояснял, что 7 не столь совершенно, ибо Господь создал мир за шесть дней, но, вероятно, Он улучшил мир за шесть дней в силу совершенства числа 6.

Следовательно, арифметика — ключ к познанию формы мира. В ином смысле средство, благодаря которому Божественный Интеллект становится доступным для понимания человека.

Эта концепция, рожденная пифагорейцами и заимствованная от гностиков, включала два вывода, которые особенно развивались мистиками:

1. Все главные символы Божественного плана входят в декаду, поскольку числа выше 10, за исключением простых, сводимы к десятку, а первичные рассматриваются как 1. Иначе, 12 учеников на самом деле 4x3 учеников, проповедовавших по всему четырехкратному миру.

2. Все вещи, по существу, едины с Господом. Однако, так же как 3 является первым числом, которое отчетливо представляется в треугольнике, первой плоской фигурой, зрительно воспринимаемой человеком, многообразие более понятно разумению человека, не способного распознать мощь Единого.

Иначе: «Quanto virtus magis est unita, tanto magis est intensa: sed in patria virtus charitatis erit potentissima: ergo erit unitissima. Sed quod maxime accedit ad unitatem, maxime recedit a latitudine: si ergo charitas in patria habit magis uniri, videtur quod potius ibi habeat arctari quam dilatari» (Бонавентура. Предложения).

Бонавентура перечисляет 12 свойств Господа, противопоставляя их свойствам смертных, уменьшая их до трех — Вечность, Знание и Блаженство: «Жизнь наших жизней. Чувства наших чувств. Разум нашего разума. Бессмертие к нашей морали, Сила к нашему бессилию. Справедливость к нашей несправедливости. Красота к нашей безобразности. Добро к злу. Неподкупность к коррупции. Бессмертие к переменчивости. Невидимое к видимому. Невещественное к телесному».

Это положение кратко изложено Аквинским: «Душа человека требует многих и разнообразных действий и возможностей. Для ангелов же достаточно небольшое разнообразие. В Господе нет никакой силы или действий, которые бы находились вне его собственной Сущности» (Сумма теологии).

«Господь — единство, — заявляет Алан-островитянин, — поскольку единица управляет множественнстью. Следовательно, сущность составляет чистота, и, чтобы ее выразить, требуется самое маленькое число. Тройная триада воплощается ангелами, поскольку менее священная, чем Троица, и священное 3 не что иное, как число единства».

Раймунд Луллий (ок. 1235–1315) в «Книге о Любящем и Возлюбленном» заявляет: «В числах один и три Возлюбленный отыщет большую гармонию, чем между другими, потому что с помощью этих чисел всякая телесная форма из небытия приходит к существованию. Самая же величайшая гармония числа, как полагает Возлюбленный, содержится в Единстве и Троице Возлюбленного».

В Троице единство расширяется в трех направлениях, при этом сущность не умножается.

Чтобы выявить безусловное значение, обязательно присущее важным числам, использовались различные методы. Анализом девяти различных способов, благодаря которым можно выразить числа, мы обязаны Хьюго Сен-Виктор-скому (1096/97- 1141):

«1. Благодаря порядку расположения:

Единица — первый номер — начало всех вещей;

Двоичность — второй номер, первый вытекает из единичности, обозначает грех от Первой Добродетели».

Хьюго отмечает два случая, где значение числа жестко зависит от его места в десятичной системе. Более свободен мой второй вывод о том, что в прямой пропорции, по мере убывания из единичности, число, как полагают, становится более несовершенным. Следовательно, большее скорее соотносится с существом, чем с Создателем.

В практическом же отношении почти любые большие числа принимают свойства единичности. 7 является священным числом отчасти потому, что состоит из первого четного числа (4) и первого нечетного (3). Сказанное справедливо и в отношении 12.

Все числа, 10, 100 и 1000, возвращаются к единичности. 40 явно далеко отстоит от единичности, но кратные части 40 добавляются к 50 — единичности, обозначающей один праздник (Пятидесятница — Троица).

С помощью столь поразительных трюков, свойственных математике и логике, в науке устанавливается практически любое «правило» в отношении чисел, хотя с той же легкостью может быть и аннулировано.