Давайте используем эту формулу для решения важной задачи, которая, без сомнения, заботит ваш ум каждый год во время новогодних каникул. Возьмем за основу популярную английскую народную песенку «Двенадцать дней Рождества»[13]: в первый день ваша настоящая любовь подарила вам 1 подарок (куропатку). На второй день – 3 подарка (куропатку и 2 горлиц). На третий – целых 6 (куропатку, 2 горлиц и 3 курочек). И так далее. Вопрос: сколько подарков у вас будет через 12 дней?

На n-ный день вы будете счастливым обладателем

подарков (получилось это из нашей суперполезной формулы для треугольных чисел или из правила клюшки при k = 1). Так вот, первый день – подарок, второй день – подарка и т. д., вплоть до 12-го дня, в который вы получите подарков. А правило хоккейной клюшки приводит нас к общему их количеству:

То есть если открывать по подарку каждый день – вам хватит их почти до конца года (ну, один можно пропустить в день рождения)!

Давайте теперь cпоем песенку, чтобы отпраздновать свой успех. Называется она «N-ный день Рождества».

В n-ный день Рождества послала мне любовь моя верная

n удивительных лакомств

n – 1 с одним вкусом,

n – 2 с другим; и остальных вкусностей

…

5 (плюс 10) всяких вкусностей!

А через n дней,

Усевшись считать подарки,

Сколько же я насчитал(а)?

Ровно

А вот одна из самых странных закономерностей Паскалева треугольника. На рисунке ниже отмечены все нечетные числа. Присмотритесь к ним и увидите в большом треугольнике несколько маленьких.

А теперь давайте сделаем вот что: сначала продлим большой треугольник до 16 рядов, а затем заменим все нечетные числа единицами, а все четные – нолями. Обратите внимание, что под каждой парой нолей, равно как и под каждой парой единиц, стоит ноль. Причина этого – в том, что при сложении 2 четных или 2 нечетных чисел сумма будет выражена четным числом.

Не будем на этом останавливаться: посмотрим на еще больший треугольник – из 256 рядов, – в котором все нечетные числа заменены черными квадратиками, а все четные – белыми.

По сути своей данная фигура – это фрактал, или рекурсивное изображение, известное так же как треугольник Серпинского, – один из огромного количества сокровищ, скрытых в глубинах Паскалева клада. А вот еще один. Сколько всего нечетных чисел в каждом ряду треугольника Паскаля? Смотрим на ряды с 1 по 8 (без нулевого) и считаем: 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2 и т. д. Вроде бы никакой закономерности. Кроме того, что у нас всегда получается число, являющееся степенью 2. Это и есть та самая, нужная нам закономерность. Обратите внимание, что ряды, количество нечетных чисел в которых равно именно 2, – это 1, 2, 4 и 8-й. То есть обозначены они числами, которые сами являются степенью 2. Для более общего вывода нам нужно вспомнить, что любое целое число, которое больше 0 или равно ему, можно получить от сложения степеней числа 2. Смотрите сами:

В рядах 1, 2, 4 и 8 (порядковые номера которых суть степени 2) у нас по 2 нечетных числа. В рядах 3, 5 и 6 (порядковые номера которых суть сумма двух степеней 2) у нас по 4 нечетных числа. В ряду же 7 (порядковый номер которого есть сумма трех степеней 2) – 8 нечетных чисел. Отсюда следует удивительное по своей красоте правило. Если n есть сумма p различных степеней числа 2, количество нечетных чисел в ряду n равняется 2p. Сколько, например, нечетных чисел будет в 83-м ряду? Так как 83 = 64 + 16 + 2 + 1 (то есть сумма четырех степеней 2), наш ответ будет 24 = 16!

И под самый конец главы – еще одна закономерность. Мы уже видели, что происходит, если сложить числа в рядах (степень 2) и столбцах («хоккейная клюшка») Паскалева треугольника. А что будет, если сложить их по диагонали?