Первые шесть книг «Начал» посвящены изложению планиметрии. Первая книга вводит основные построения, действия над отрезками и углами, свойства треугольников, прямоугольников и параллелограммов, сравнение площадей этих фигур. Завершают первую книгу теорема Пифагора и обратная ей теорема.

На материале первой книги выявляются некоторые характерные особенности метода математического суждения и формы изложения Евклида.

а) Метод рассуждений Евклида всегда синтетический. Для доказательства какой-либо теоремы он исходит из заведомо справедливого утверждения, в конечном счете опирающегося на систему основных положений. Из этого последнего он развивает последовательность следствий, приводящих к искомому утверждению.

б) Доказательства строятся по единой схеме, состоящей из следующих частей: формулировка задачи, или теоремы; введение чертежа для формулировки задачи; формулировка по чертежу искомого; введение вспомогательных линий; доказательство в собственном смысле; объявление того, что доказано и что доказанное решает задачу.

в) Средства геометрического построения – циркуль и линейка – принципиально не употребляются как средства измерения. Линейка не имеет мерных делений. Поэтому в «Началах» не идет речь об измерении длин отрезков, а лишь об их отношениях.

Во второй книге рассматриваются соотношения между площадями прямоугольников и квадратов, подобранные таким образом, что они образуют геометрический аппарат для интерпретации алгебраических тождеств и для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям.

Третья книга толкует о свойствах круга и окружности, хорд и касательных, центральных и вписанных углов. Четвертая книга посвящена свойствам правильных многоугольников: вписанных и описанных, а также построению правильных 3 – , 5 – , 6 – и 15 – угольников.

В пятой книге «Начал» развивается общая теория отношений величин, являющаяся прообразом теории действительного числа. Здесь же приводится теория пропорций.

Геометрические приложения теории отношений включены в шестую книгу. В ней, например, доказаны теоремы об отношении площадей прямоугольников и параллелограммов, имеющих общую высоту, о пропорциональности отрезков, отсекаемых на сторонах угла парой параллельных прямых, о подобии фигур и отношении площадей подобных фигур и т. п.

Следующая группа книг (книги 7–9) носит название «арифметических», так как Евклид отвлекается здесь на время от геометрии и излагает теорию чисел. Седьмая книга начинается с изложения алгоритма попеременного вычитания. Затем следует ряд предложений теории делимости. Наконец, книга содержит теорию пропорций для рациональных чисел. Последняя продолжается в восьмой книге, где рассматриваются непрерывные числовые пропорции (вида a: b = b: c = c: d = d: e=…), и заканчивается в девятой книге. В этой теории по существу вводятся геометрические целочисленные прогрессии (т. е. последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число – знаменатель прогрессии), находится среднее пропорциональное (среднее пропорциональное между двумя положительными числами, число, равное квадратному корню из их произведения), дается способ отыскания суммы геометрической прогрессии.

Значительная часть девятой книги составляет учение о простых числах (т. е. тех, которые делятся только на единицу и самих себя), причем доказывается, что простых чисел бесконечно много.

Десятая книга «Начал» интересна в первую очередь громоздкой и сложной классификацией всех 25 возможных видов биквадратичных иррациональностей (т. е. иррациональных чисел, которые являются вещественными корнями некоторого квадратного уравнения).

Последние три книги (11–13) «Начал» – стереометрические. Первая из них открывается большим числом определений, что вполне естественно, так как в предыдущих книгах вопросы стереометрии не рассматривались. Затем следует ряд теорем о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве и теоремы о многогранных углах. Последнюю треть книги составляет рассмотрение отношений объемов параллелепипедов и призм.

В двенадцатой книге «Начал» исследуются отношения объемов элементарных тел (пирамид, цилиндров, конусов и шаров). Они находятся с помощью метода, получившего впоследствии (в XVII в.) название метода исчерпывания. Он с успехом применялся древними для исчисления площадей произвольных фигур и объемов тел. Если, например, требовалось найти площадь какой-нибудь неправильной криволинейной фигуры, в нее начинали вписывать последовательность других фигур, площедь которых может быть определена (например, прямоугольников, треугольников или правильных многоугольников). Фигуры выбирались таким образом, чтобы разность между площадью искомой фигуры и суммой площадей вписываемых фигур стремилась к нулю.

В последней, тринадцатой, книге «Начал» находится отношение объемов шаров и построения пяти правильных многогранников: тетраэдра (4-гранника), гексаэдра (6-гранника), октаэдра (8-гранника), додекаэдра (12-гранника), икосаэдра (20-гранника). В заключении доказывается, что других правильных многогранников не существует.

«Начала» Евклида оставили неизгладимый след в истории математики и в течение многих веков служили образцом математической строгости и последовательности. Однако некоторые особенности «Начал» отражают ряд неблагоприятных моментов для дальнейшего развития математики. Прежде всего речь идет о геометрической манере изложения. Евклид оперирует не числами (которые представлены у него как отрезки), а фигурами. Средства геометрического построения по существу ограничены только циркулем и линейкой. Поэтому в «Началах» нет теории конических сечений (этой теме Евклид посвятил отдельное сочинение, которое не сохранилось), алгебраических кривых. Вычислительные методы здесь полностью отсутствуют.

2) Аристарх Самосский

Аристарх Самосский, вопреки общепринятым в его время взглядам, утверждал, что Земля и многие другие планеты вращаются вокруг Солнца (значительно превышающего их своими размерами), при этом наша планета совершает полный оборот за 365 дней. Одновременно за 24 часа она также совершает оборот и вокруг своей оси. Что касается неба звезд, то его Аристарх (в отличие, к примеру, от Аристотеля) полагал неподвижным. К сожалению, о жизни самого ученого (кроме того, что он родился на острове Самос) ничего не известно. Можно предположить, что он родился не раньше 310 г. до Р. Х., а умер не позже 230. Косвенные факты указывают на то, что Аристарх длительное время прожил в центре эллинистической культуры – Александрии. Еще одним интересным фактом, характеризующим Аристарха, является обвинение его в безбожии.

На данный момент не ясно, следуя каким фактам и убеждениям Аристарх выдвинул теорию о гелиоцентрической системе мира. Но совершенно очевидно, что гипотеза эта не была поддержана современниками, хотя авторитет Аристарха как великого математика никогда не подвергался сомнению. Его труд «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» (единственный, который дошел до наших дней) тщательно изучался всеми последующими математиками и астрономами. Младший современник Аристарха Архимед неоднократно цитирует его в своих трактатах.

3) Архимед

Архимед родился ок. 287 г. до Р.Х. в Сиракузах на острове Сицилия. Его отцом, возможно, был математик и астроном Фидий. По утверждению Плутарха, Архимед состоял в близком родстве с Гиероном II, тираном Сиракуз. Для обучения Архимед отправился в Александрию. Здесь он познакомился и подружился со знаменитыми учёными: астрономом Кононом и разносторонним учёным Эратосфеном из Кирены, с которыми потом переписывался до конца жизни (дошедшие до нас сочинения Архимеда написаны преимущественно в виде писем).

По окончании обучения Архимед вернулся на Сицилию и всецело посвятил себя научным занятиям. Обласканный царем и окружённый вниманием