Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился во время осады Сиракуз римлянами в 212 году до Р. Х. в ходе Второй Пунической войны. Построенные Архимедом мощные метательные машины забрасывали римские войска тяжёлыми камнями. Римляне надеялись, что они будут в безопасности у самых стен города, но просчитались – здесь их забросали градом ядер лёгкие метательные машины близкого действия. Мощные краны захватывали железными крюками корабли, приподнимали их, а затем бросали вниз, так что корабли переворачивались и тонули. Римляне вынуждены были отказаться от штурма и перешли к осаде. По одной из легенд, во время осады римский флот был сожжён защитниками города, которые при помощи зеркал и отполированных до блеска щитов сфокусировали на них солнечные лучи по приказу Архимеда.

Однако, не смотря на все частные успехи осажденных, осенью 212 г. до Р. Х. римляне все-таки захватили Сиракузы. При этом Архимед был убит.

По свидетельству Плутарха, Архимед был одержим математикой. Размышляя над очередной задачей, он забывал о пище и совершенно не заботился о себе. Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат замечательные исследования по геометрии, арифметике и алгебре. Так, он значительно развил учение о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений, корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы.

Однако главные математические достижения Архимеда касаются проблем, которые сейчас относят к области математического анализа. Греки до Архимеда сумели определить площади многогранников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл более общий метод вычисления площадей и объемов благодаря усовершенствованию и виртуозному применения метода исчерпывания. (Изложение этого метода содержится «Началах» Евклида, составляя основную часть их двенадцатой книги).

Другой метод античной математики может быть охарактеризован как «метод интегральных сумм». Наиболее яркие примеры его применения находятся в сочинениях Архимеда: «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах». Существо «метода интегральных сумм» в применении, например, к вычислению объемов тел вращения, состоит в следующем: тело вращения разбивается на части и каждая часть заменяется описанными и вписанными телами, объемы которых можно вычислить. Сумма объемов описанных тел будет больше, а сумма вписанных тел – меньше объема тела вращения. После этого остается расположить описанные и вписанные тела таким образом, чтобы разность их объемов была сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел бесконечно малых цилиндриков.

Наряду с «методом интегральных сумм» Архимед разрабатывал метод, который ретроспективно может быть назван как «дифференциальный». Примером его применения может служить способ нахождения касательной к спирали в сочинении Архимеда «О спиралях».

Опираясь на перечисленные методы (в дальнейшем они легли в основу интегрального и дифференциального исчисления), Архимед сделал несколько важных математических открытий. В сочинении «Квадратура параболы» он доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника. В сочинении «О шаре и цилиндре» Архимед сумел доказать, что что объём шара равен 2/3 от объёма описанного около него цилиндра, а площадь поверхности шара равна площади боковой поверхности этого цилиндра – задача, которую до него никто решить не мог (именно это изображение – шар, вписанный в цилиндр – ученый завещал выбить на своей могиле).

Архимед вычислил площадь поверхности для сегмента шара и витка открытой им «спирали Архимеда», определил объёмы сегментов шара, элипсоида, параболоида и двуполостного гиперболоида вращения. Он также нашел общий способ построения касательной к эллипсу, гиперболе и параболе.

Архимед также прославил себя многочисленными открытиями в области механики. Изобретённый им архимедов винт (шнек) с тех пор имеет широкое применение в различных областях техники. Рычаг был известен и до Архимеда, но лишь Архимед изложил его полную теорию. Он также изучил механические свойства подвижного блока и применил его на практике. По свидетельству Афинея, «для спуска на воду исполинского корабля, построенного сиракузским тираном Гиероном, придумывали много способов, но механик Архимед один сумел сдвинуть корабль с помощью немногих людей; Архимед устроил блок и посредством него спустил на воду громадный корабль». Другая легенда, приведенная Паппом Александрийским, сообщает, что Архимед будто бы заявил при этом: «Будь в моём распоряжении другая Земля, на которую можно было бы встать, я сдвинул бы с места нашу» (в другом варианте: «Дайте мне точку опоры, и я переверну мир»). Из этих свидетельств видно, что Архимед не только изучил свойства простых механизмов, но и сделал следующий шаг – стал сооружать на основе них более сложные машины, преобразующие и усиливающие движение. Возможно, что корабль ему удалось сдвинуть с помощью системы подвижных и неподвижных блоков (подобной современным талям), позволяющих многократно увеличить прилагаемое усилие.

Одним из самых выдающихся открытий Архимеда является закон гидростатики, носящий теперь его имя. Он гласит, что выталкивающая сила, действующая на погруженное в жидкость тело, равна весу вытесненной им жидкости. Легенда гласит, что сиракузский царь Гиерон II попросил ученого определить, из чистого ли золота сделана его корона, не причиняя при этом вреда самому царскому венцу. Взвесить корону Архимеду труда не составило, но этого было мало – нужно было определить объем короны, чтобы рассчитать плотность металла, из которого она отлита, и определить, чистое ли это золото. Озабоченный этой проблемой, Архимед погрузился в ванну – и вдруг заметил, что уровень воды в ней поднялся. Тут ученый осознал, что объем его тела вытеснил равный ему объем воды, следовательно, и корона, если ее опустить в заполненный до краев таз, вытеснит из него объем воды, равный ее объему. Решение задачи было найдено и, согласно самой расхожей версии легенды, ученый побежал докладывать о своей победе в царский дворец, даже не потрудившись одеться.

Таким образом Архимед открыл принцип плавучести. Если твердое тело погрузить в жидкость, оно вытеснит объем жидкости, равный объему погруженной в жидкость части тела. Давление, которое ранее действовало на вытесненную жидкость, теперь будет действовать на твердое тело, вытеснившее ее. И, если действующая вертикально вверх выталкивающая сила окажется больше силы тяжести, тянущей тело вертикально вниз, тело останется наплаву; в противном случае оно пойдет ко дну (утонет). Говоря современным языком, тело плавает, если его средняя плотность меньше плотности жидкости, в которую оно погружено.

Закон Архимеда можно истолковать с точки зрения молекулярно-кинетической теории. В покоящейся жидкости давление производится посредством ударов движущихся молекул. Когда некий объем жидкости вымещается твердым телом, направленный вверх импульс ударов молекул будет приходиться не на вытесненные телом молекулы жидкости, а на само тело, чем и объясняется давление, оказываемое на него снизу и выталкивающее его