человек стал это целое дробить. Но числовой ряд можно вести не только в сторону увеличения, но и в сторону уменьшения. Так зародилось понятие «отрицательное число» –4, –3, –2, –1. Оно возникло у индейцев в VI–XI вв. Потребность в определении отношений между натуральными числами (к примеру, диагонали квадрата к его сторонам) породило понятие «иррационального числа». Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел. В XVI веке в связи с решением квадратных и кубических уравнений появилось понятие «комплексное» число [6. С. 1772].

Это интересно!

Чудеса с мнимыми числами. Мнимое — это такое число, которое не имеет аналога в реальном мире. Но совсем недавно физики (!) выяснили, что мнимые числа реальны в мире квантов. Ученые провели эксперимент: отправляли запущенные фотоны в два улавливающие их приемники. И если этим приемникам «разрешали» использовать мнимые числа, компьютеры с точностью до 100 % вычисляли квантовые состояния фотонов; как только «запрещали» — результат нулевой. Вывод: «мнимые числа вполне реальны в квантовом мире (мире нейтральных элементарных частиц) и без них не обойтись» [10. — 2021. — № 12. — с. 2]. Фантастика: сейчас ученые работают над созданием квантовых… компьютеров [11. — 2022. — № 38. С. 8].

Но число без его практического использования для количественных измерений становится не только мнимым, но и мертвым инструментом. А вместе с осмыслением места и роли числа у человека появились понимание, возможность и необходимость в простейших арифметических действиях: в сложении и вычитании, в умножении и делении, т. е., в вычислениях через сравнения. Без овладения азами (!) этой премудрости человечество не пришло бы вообще к математике — родоначальнице множества открытий как в естественных, так и в гуманитарных науках. Даже к философии…

Итак, математика. Наука и искусство умственных усилий человека с количественными понятиями. С поисками ответа не просто на вопрос «Сколько?», а насколько больше-меньше, раньше-позже. Человечество пришло к такому пониманию вычислений тысячелетия назад. Пришло с помощью математических гениев древности. Но простое запоминание (зазубривание) элементарных правил счета не означает, что человек овладел логикой математического мышления. Ведь что основное в математике? Это творчество, это движение мысли, логика, а не выучивание формул, не просто таблица умножения.

Известный русский сатирик Аркадий Аверченко (1881–1925) в рассказе «Бельмесов» рисует такую картину.

«Идет экзамен. Инспектор Бельмесов:

— Кувшинников!.. Сколько будет пятью шесть?

— Тридцать.

— Правильно, молодец. Ну, а сколько будет, если помножить пять деревьев на шесть лошадей?

— …Тоже… тридцать…

— Но тридцать чего?

У Кувшинникова… волосы на голове и даже уши затрепетали: «Тридцать… лошадей».

— А куда же девались деревья? Садись…

— Кулебякин! Ну… ты нам скажешь, что такое дробь?

— Дробью называется часть какого-нибудь числа.

— Ты так думаешь? Ну, а если я набью ружье дробью, это будет часть какого числа?

— То дробь не такая, — улыбнулся бледными губами Кулебякин, — то другая.

— …А вот если человек танцует и ногами дробь выделывает — это какая же?» [12. С. 288–290].

Критически мыслящий читатель спросит: «Ну и зачем вы приводите умствования экзаменатора Бельмесова? Какое это имеет отношение к истории появления искусственного интеллекта?» А вот какое! Вся технология искусственного интеллекта, логика его «мышления» строится на прочном математическом фундаменте программирования, на творческом математическом мышлении. На понимании того, что математика есть наука о пространственных формах и количественных отношениях; она требует ответа на вопросы задач в формах абстрактно-числовых, а не чувственно-вещественных. Надо четко понимать границы применения математики в научных поисках. Не только математика помогает создавать и совершенствовать производственные технологии, но и они (технологии) вызывают к жизни новые математические дисциплины. К примеру, именно работа над искусственным интеллектом породила такие направления в математике, как теория информации, дискретная (конечная) математика, теории игр, графов, теория оптимального управления и пр.

Учить математическому мышлению надо со школьной скамьи. Инспектор Бельмесов своими «умными», а фактически — провокационными вопросами, создает не проблемную дидактическую[5]ситуацию, не учит математической логике, а отбивает всякое уважение к математике. Не научив самостоятельно, математически-конкретно мыслить в процессе обучения, глупо требовать этого от школьников на экзамене.

Дважды два четыре — и никак иначе! «А что? Разве неправильно?» — удивится учитель математики.

«Вы уверены, — спрашивает их Э. В. Ильенков, — что это несомненная и бесспорная истина? Да? В таком случае из вас никогда не вырастет математик… «Абсолютной и бесспорной» эта истина остается до тех пор, пока умножению (сложению) подвергаются абстрактные единицы (одинаковые значки на бумаге)… Сложите (фактически — слейте) в реальной жизни вместе две и две капли воды (уже конкретные вещественные единицы — О. П.) — и вы получите все, что угодно, но не четыре. Может быть, одну каплю, а может, — сорок четыре брызга» [13. С. 51]. «Что вы детям мозги забиваете! — окончательно рассердится учитель-формалист. — Причем здесь какие-то капли воды? Загляните, наконец, в таблицу умножения! Для счетчика-формалиста 2×2=4 абсолютно верно. А для физика-экспериментатора, для химика, производящего опыты? Для точных наук математика — основа основ, но это их рабочий инструмент, а не догма. Берет ученый-химик два (2) литра воды, и два (2) литра спирта, сливает (т. е. 2+2) в один сосуд и … получает не четыре (4) литра жидкости, а меньше (<). Подобное случается с физиком: при синтезе (сложении) скрупулёзно просчитанного числа (!) атомов в ядерных реакциях происходит уменьшение исходного количества атомов. Мало того, наблюдается (вопреки формальной математике) так называемый дефект массы — т. е. уменьшение массы вещества…» в процессе опытов [13. С. 51]. Ученый, воспитанный в школе учителем-педантом, в таких случаях впадает в ступор; он лихорадочно ищет ошибку в математических расчетах. Но математика не виновата, виновато отсутствие у человека математической логики, гибкости математического мышления. Мышление математика заставляет ученого воображать, фантазировать, т. е. зримо представить себе то, что не видит. К примеру, идти от абстрактного к конкретному, к конкретно-всеобщему.

А нейробиологи, которые заняты созданием математической модели мозга? Не обращая внимания на такой «малюсенький» факт, что человеческий мозг состоит почти из 90 млрд нейронов, но самое главное, что все они разные. И как им, нейробиологам, это качество разнообразия перевести в математическое «однообразное» количество? Без союза с материалистической диалектикой ученый не овладеет подлинной математической логикой. «Действительный математик мыслит тоже в полной мере конкретно, как и физик, как и биолог, как и историк. Он рассматривает тоже не абстрактные закорючки, а самую постоянную действительность, только под особым аспектом, свойственным математике. Это умение видеть окружающий мир под углом зрения количества и составляет специальную черту мышления математика» [8. С. 39].

«Однако вы слишком забежали вперед!» — упрекнет автора проницательный