Отклонения от идеальной сферы потребовали поисков тригонометрических форм, выходящих за рамки плоскости и сферы, с помощью которых будет удобно обращаться со сфероидами. Сумма углов треугольника, расположенного на сфере, больше 180°, но превышение будет меняться в зависимости от места расположения треугольника на сфероиде. Французский математик Адриен Мари Лежандр (1752–1833) в 1799 году выполнил довольно изящную работу — связал стороны треугольника с разницей между суммой углов и 180°. Затем с помощью дифференциального и интегрального исчислений были определены новые проекции, формулы которых позволяли определить необходимые искажения. Немецкий физик и математик Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) опубликовал в 1772 году несколько различных проекций, одна из которых, конформная коническая проекция, используется до сих пор. В этом случае Земля проецируется на конус, который касается сферы в «стандартной параллели». Затем конус можно «развернуть», создавая плоскую карту.

Приборы, необходимые для навигации и геодезии, совершенствовались быстро. Астролябия, унаследованная от греков и усовершенствованная арабами, была своего рода аналоговой счетной машиной. Вращая диск, на котором были выгравированы проекция неба и орбиты различных небесных тел, можно было вычислить время восхода и захода. Каждая проекция подходила для фиксированной широты, так что в комплекте с астролябией шел набор дисков, каждый из них был предназначен для своей широты. Астролябия также могла использоваться для вычисления угла возвышения и азимутов небесных тел, вычисления времени и измерения астрономических расстояний. Использование угла возвышения и азимута в качестве стандартных измерений ввели арабы. Угол возвышения — это угол по отношению к горизонту, а азимут — угловое расстояние от меридиана. Солнечные часы были обычным инструментом определения времени, использующим изменения угла возвышения Солнца в течение дня или изменения его азимута. Большинство дисков надо было ориентировать с помощью компаса, но это было очень сложно, если принимать во внимание изменение скорости движения Солнца по небу. В XVII веке были созданы универсальные солнечные часы, которые могли использоваться на любой широте, хотя их все еще необходимо было настраивать. Затем морскую астролябию — довольно простой прибор — сменил квадрант. Постепенно квадранты, секстанты и тому подобные инструменты, используемые мореплавателями, астрономами и землемерами, становились все более и более точными, поскольку стали объединяться с оптическими инструментами и более точными шкалами.

Постоянно усиливавшаяся потребность в точности измерений на земле, в море и в небесах влекла за собой увеличение объема необходимых вычислений. Добавление новых формул означало удлинение вычислений. В результате начиная с XVII века к облегчению расчетов привело применение логарифмов. У штурманов имелись таблицы тригонометрических функций и логарифмов, позволявшие облегчить вычисления, хотя в таких таблицах было очень много ошибок, закравшихся в процессе печати. Изобретение логарифмической линейки если и не смогло увеличить точность вычислений, то по крайней мере сберегало время, и потому в XVIII веке она получила широкое распространение. К тому времени взгляд на мир сильно отличался от представлений Птолемея — теперь Земля была простой планетой, сплюснутым с полюсов сфероидом, вращавшимся вокруг Солнца по своей орбите. Во второй половине XX века мы наконец оторвались от поверхности Земли и увидели свою планету с высоты, и тогда искусственные спутники позволили исправить географические карты.

В XVI веке математики почти случайно натолкнулись на комплексные числа (см. Главу 11). К XVIII веку комплексные числа считались расширением области действительных чисел, но работа с ними все еще приводила к ошибке четности, как в труде Леонарда Эйлера «Универсальная арифметика» (1767–1770). Он писал, что √ - 2х√ - 3 = √6, а не -√6, смущая более поздних авторов, писавших на ту же тему. Даже Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) в своем великом труде по теории чисел «Арифметические исследования» (1801) избегал использования так называемых «мнимых чисел». Как мне кажется, самая важная часть этой работы — первое доказательство фундаментальной теоремы алгебры. Гаусс понял, насколько важной была эта теорема, создав за последующие годы несколько дополнительных доказательств. В 1849 году он переделал первый вариант, на сей раз использовав комплексные числа. Пользуясь современными терминами, можно сказать, что для любого конечного многочленного уравнения с действительными или комплексными коэффициентами все его корни будут действительными или комплексными числами. Таким образом, мы получаем отрицательный ответ на давний вопрос о том, требует ли решение полиномиальных уравнений высокого порядка создания чисел более высокого порядка, чем комплексные.

Одной из самых тернистых проблем алгебры того времени был вопрос, разрешим ли алгебраическими методами, то есть с помощью конечного числа алгебраических шагов, полиномиал пятого порядка — квинтик. Сейчас в школе учат формулу решения квадратных уравнений, а с XVI века известны аналогичные методы для решения уравнений третьей и четвертой степени (Глава 11). Но для квинтиков не было найдено ни одного метода. Может показаться, что фундаментальная теорема алгебры содержит перспективу положительного ответа, но на самом деле она просто гарантирует, что решения существуют, в ней ничего не говорится о существовании формул, дающих точные решения (к тому времени уже существовали приблизительные числовые и графические методы). И вот появились два математических гения с трагической судьбой.

Нильс Хенрик Абель (1802–1829) родился в большой бедной семье, жившей в маленькой деревушке в Норвегии — стране, разоренной долгими годами войны с Англией и Швецией. Учитель, доброжелательно настроенный к мальчику, давал ему частные уроки, но после смерти отца, в восемнадцать лет, несмотря на юный возраст и хрупкое здоровье, Абель вынужден был содержать семью. В 1824 году он издал научную статью, в которой заявил, что квинтик не разрешим алгебраическими средствами, как, впрочем, и любой полиномиал более высокого порядка. Абель полагал, что эта статья послужит ему пропуском в научный мир, и послал ее Гауссу в университет Геттингена. К сожалению, Гаусс так и не собрался разрезать страницы ножом (в те дни этим приходилось заниматься любому читателю) и не прочитал статью. В 1826 году норвежское правительство наконец выделило Абелю средства для поездки по Европе. Опасаясь, что личное общение с Гауссом не доставит ему большой радости, математик решил не посещать Геттинген и вместо этого поехал в Берлин. Там он подружился с Августом Леопольдом Крелле (1780–1855), математиком, архитектором и инженером, консультировавшим прусское министерство образования по вопросам математики. Крелл собирался основать «Журнал чистой и прикладной математики». Так Абель получил возможность распространить свой труд и много печатался, особенно в ранних номерах «Журнала», который сразу же стал считаться очень престижным и авторитетным научным изданием. Норвежец напечатал там расширенную версию своего доказательства, что квинтик неразрешим алгебраическими методами. А затем уехал в Париж. Эта поездка очень огорчила Абеля, потому что он практически не получил так необходимой ему поддержки французских математиков. Он сблизился с Огюстеном Луи Коши (1789–1857), который в то время был главным светилом математического анализа, но имел очень сложный характер. Как выразился сам Абель, «Коши безумен, и с этим ничего нельзя поделать, хотя в настоящее время он — единственный, кто на что-то способен в математике». Если пытаться искать оправдания проявлениям неуважения и пренебрежения, исходившим от Гаусса и Коши, можно сказать, что квинтик достиг определенной славы и привлекал внимание как уважаемых математиков, так и оригиналов. Абель возвратился в Норвегию, где все сильнее страдал от туберкулеза. Он продолжал посылать свои работы Крелле, но в 1829 году умер, не зная о том, насколько упрочилась его репутация в научном мире. Через два дня после смерти на адрес Абеля пришло предложение занять научную должность в Берлине.