С тех пор как в третьем столетии до нашей эры появились «Начала», евклидова геометрия (см. Главу 4) считалась самой совершенной из всех математических систем. Основанная на самых общих допущениях, она выстраивает удивительно стройное здание математических теорем. Евклидова геометрия — типичная аксиоматическая дедуктивная система. Однако на этом храме геометрии имелось маленькое пятнышко, прыщик, который математики не переставали почесывать. Евклид сформулировал ныне печально известный пятый постулат, согласно которому «если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Этот постулат также известен как постулат о параллельных прямых. В нем говорится: если две прямые линии не параллельны, они в конечном счете пересекутся в некоторой точке. Все согласились, что постулат верен, но было слишком сложно гарантировать истинность этой, по сути, аксиомы, ставшей отправной точкой «Начал». Сперва усилия были направлены на доказывание того, что на самом деле это не постулат, а теорема, которая может быть доказана с помощью других аксиом. Многие обманывались, считая, что им удалось доказать ее, но более тщательное изучение их доказательств непременно показывало, что в них обязательно присутствуют новые предположения, которые, по существу, оказывались перепевкой пятого постулата. Найти ему более очевидную замену оказалось очень трудно.

Математики продолжали изучать пятый постулат. Особенно много сил отдали этому ал-Хорезми и персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274). Работа последнего, переведенная на латынь, вдохновила иезуита и математика Джироламо Саккери (1667–1733). В последний год своей жизни Саккери издал труд под названием «Евклид, очищенный от всех пятен», в котором он попытался доказать постулат о параллельности, опровергая как абсурд все другие постулаты. Он построил то, что теперь известно как «четырехугольник Саккери», с двумя парами «параллельных» сторон. Он выдвинул три различные гипотезы о сумме внутренних углов четырехугольника — что сумма меньше, равна или больше суммы четырех прямых углов или 360°. Если бы он смог показать, что первая и третья гипотезы приводят к логической несогласованности, то доказал бы, что средняя гипотеза, эквивалентная постулату о параллельности прямых, и есть единственно верная.

Саккери легко отверг третью гипотезу как приводящую к логическим противоречиям. Однако первая гипотеза не создавала никаких логических проблем. Используя этот новый постулат, он мог доказывать теорему за теоремой. Саккери выстроил самую первую неевклидову геометрию, но отказался поверить этому. Как мы помним, его главная цель — опровергнуть истинность этой гипотезы, а не создать новую геометрию. Вновь обратившись к церковному учению, он отверг новую геометрию на ошибочных теологических основаниях. Однако математики, жившие после него, оказались более доверчивыми.

Навязчивая идея о пятом постулате имела более глубокое значение, чем просто чистота логики. Под угрозой оказалась сама природа физического пространства. Евклидова геометрия была не только последовательной и разумной математической системой, но и принципом, по которому структурировалось пространство — самая короткая линия между двумя точками была прямой линией не только в теории, но и на практике. Казалось бы, уже существовала хорошо сформулированная геометрия, в которой даже это не было истинным, — классическая сферическая геометрия. Самая короткая линия между двумя точками на сфере — это дуга, часть большого круга, соединяющая две точки. Кроме того, сумма углов любого треугольника на сфере в целом больше 180°. Так из-за чего вся эта суета? Все сводилось к различию между тем, что называли внутренними и внешними свойствами геометрии. Внешние свойства — те, которые можно вывести вне системы; внутренние — те, которые выводятся из самой системы. Например, правила сферической геометрии могут быть выведены из наблюдения сферы извне, скажем, за шаром в руке, но как мы можем сказать с геометрической точки зрения, живем мы на сфере или нет? Как геометрически определить, живем мы на плоской Земле или на сферической? Или, иначе говоря, есть ли какие-то внутренние свойства, отличающие плоскость от сферы? Эти относительно простые понятия важны для изучения истинной природы трехмерного пространства, в котором мы имеем доступ только ко внутренним свойствам.