Еще один математик из Болоньи, Рафаэль Бомбелли, предположил, что квадратным корнем из отрицательных чисел вполне может быть совершенно новый вид чисел. Это и не положительные, и не отрицательные числа! Необычные числа, о которых ничего не известно, предположить существование которых до настоящего момента было невозможно. После появления нуля и отрицательных чисел огромное множество чисел снова собирается расширяться.

В конце жизни Бомбелли написал свою основную работу, «Алгебра», которая была опубликована в год его смерти (1572). Взяв за основу книгу «Арс Магна», он дополнил ее новыми элементами, которые назвал комплексными числами. Бомбелли сделал нечто подобное тому, что уже однажды совершил Брахмагупта, когда ввел понятие отрицательных чисел. Он описал правила, позволяющие выполнять различные действия с комплексными числами, включая возведение во вторую степень и нахождение отрицательных чисел.

Судьба комплексных чисел Бомбелли была во многом схожа с судьбой отрицательных чисел. Они также вызвали волну скепсиса и недоверия. И, так же как и отрицательные числа, их в конце концов признали революционным достижением в мире математики. Одним из таких скептиков в начале XVII в. был французский математик и философ Рене Декарт. Именно он дал этим числам название, которое мы используем до сих пор: мнимые числа.

Пройдет два столетия, прежде чем мнимые числа будут признаны всем математическим сообществом. Так они станут неотъемлемой частью современной науки. Помимо решения уравнений, эти числа будут применяться в физических науках, в том числе в изучении волновых явлений в электронике или квантовой физике. Без мнимых чисел появление многих современных технологий было бы невозможным.

Однако, в отличие от отрицательных, мнимые числа в основном остаются неизвестными за пределами научных кругов. Их сложно себе представить на интуитивном уровне, трудно спроектировать на простые физические явления. Если отрицательный результат еще можно представить как долг или дефицит, то для того, чтобы понять, что такое мнимые числа, придется отказаться от осознания чисел в количественных категориях. Эти числа неприменимы в повседневной жизни для подсчета яблок или овец.

Мнимые числа постепенно расширяли поле для исследований математиков. В конце концов, если достаточно только признать существование квадратных корней из отрицательных чисел для того, чтобы принять новый вид чисел, почему нельзя пойти дальше? Разве нельзя создавать неограниченное число новых чисел с новыми арифметическими свойствами. Нельзя ли тогда ввести новые, полностью независимые алгебраические структуры чисел, отличные от классических?

В XIX в. были сняты последние ограничения применения математических действий по отношению к любым числам. Таким образом, алгебраическая структура становится не более чем математической конструкцией, состоящей из элементов (которые мы можем назвать цифрами в определенных случаях) и операций, которые могут быть совершены в отношении этих элементов (которые могут быть названы сложением, умножением и т. д. в соответствующих случаях).

Такой подход привел к появлению многочисленных новых исследований. Новые, более или менее абстрактные алгебраические структуры уже были обнаружены, изучены, классифицированы. Учитывая масштабы задачи, математики Европы и мира начали обмениваться опытом. Даже сегодня многие алгебраические исследования продолжают проводиться по всему миру, и многие гипотезы остаются недоказанными.

Как распознать интересную теорию? На протяжении всей истории для этого существовало два критерия, которыми руководствовались математики в своих исследованиях: применимость и красота.