Декартова система координат

Идея Декарта была одновременно элементарной и гениальной: начертить две размеченные линии, горизонтальную и вертикальную, с тем чтобы идентифицировать каждую геометрическую точку координатами по двум осям. Рассмотрим, например, следующую точку А:

Точка находится на отметке 2 горизонтальной оси и 4 – вертикальной оси. Следовательно, ее координаты равны 2 и 4. С помощью этого метода становится возможным представлять каждую геометрическую точку двумя числами и, наоборот, находить точку для каждой пары чисел.

С момента своего возникновения геометрия и числа всегда имели тесные связи, но с появлением прямоугольной системы координат две эти дисциплины стали неразрывны. С того времени любая геометрическая задача могла решаться алгебраически, а алгебраическая задача – геометрически.

Рассмотрим, например, следующее уравнение первой степени: х = у + 2. Это уравнение с двумя неизвестными: необходимо найти х и у. Например, можно заметить, что х = 2 и у = 4 образуют решение, так как 2 + 2 = 4. Далее ясно, что числа 2 и 4 – это координаты точки А. Таким образом, можно представить это решение геометрически как точку.

На самом деле уравнение х + 2 = у имеет бесконечное количество решений. Например, пары чисел х = 0 и у = 2 или х = 1 и у = 3. Для любого значения х находится соответствующий у путем добавления 2. Теперь мы можем отметить в нашей системе координат все точки, соответствующие этим решениям. Таким образом, мы получим следующий график.

Прямая линия! Решения формируют идеально прямую линию. Нет ни одного из них, которое отклонялось бы от этого правила. В прямоугольной системе координат линия является геометрическим решением уравнения, а уравнение – алгебраическим представлением прямой линии. Два объекта слились воедино, и сегодня нередко можно услышать, как математики называют прямую линию х + 2 = y. Давая одни и те же имена разным вещам, алгебра и геометрия в действительности становятся единой дисциплиной.

Такая взаимозависимость привела к тому, что геометрические явления могут быть описаны алгебраическим языком и наоборот. Например, то, что называется «серединой» в геометрии, именуется «средним» в алгебре. Возьмем точку А с координатами 2 и 4 и соединим ее с точкой B с координатами 4 и 6. Для того, чтобы найти середину отрезка, соединяющего А и В, достаточно найти средние значения координат. Первые координаты А и В равны 2 и 4, соответственно, из чего можно сделать вывод о том, что первая средняя координата равна среднему значению этих двух чисел: (2 + 4) / 2 = 3. Аналогично можно найти среднее значение по вертикальной оси: (4 + (–6)) / 2 = –1. Таким образом, координаты середины отрезка равны 3 и –1, в чем можно убедиться, отметив эту точку на графике:

В словаре соответствий терминов из алгебры и геометрии окружность обозначает квадратное уравнение, точки пересечения двух окружностей – систему уравнений, а теорема Пифагора, тригонометрические конструкции и разделение на мозаичные части трансформируются в различные буквенные формулы.

Подводя итоги, можно сделать вывод, что в дальнейшем для решения геометрических задач не было необходимости изображать фигуры: алгебраические расчеты окончательно заняли свое место в математике, что значительно упростило и ускорило решение задач!