Чем обусловлен этот короткий способ? Чтобы найти среднее для двух чисел (78,75 и 80), мы должны сложить их и взять половину от суммы:

78.75 + 80 = 158,75

158,75: 2 = 79,375

Разделив 15 на 2, мы получаем в ответе 7 и переносим остаток 1 к цифре 8, получая 18. В рассмотренном коротком способе мы просто опустили эту часть вычислений.

Более высокая точность

Если мы хотим вычислять с большей точностью, можно повторить процедуру, используя полученный ответ в качестве второй оценки.

Для демонстрации метода возьмем самый первый пример, приведенный в этой главе:

√56 =

Нашим первым приближением является 7 (7 х 7 = 49).

56: 7 = 8

8 – 7 = 1 (разница)

1: 2 = 0,5

7 + 0,5 = 7,5

Теперь повторим процесс. Разделим 56 на 7,5. Данная операция не составляет труда. Это то же самое, что 112: 15 или 224: 30. Если мы удваиваем и делимое, и делитель, результат деления не изменяется.

224 легко делится на 30. Делим сначала на 10 (22,4), а потом на 3.

224: 30 = 7,4667

Можно использовать наш короткий способ для нахождения среднего значения. Мы знаем, что первой частью ответа является 7,4. Приписываем остаток 1 спереди к 667 и получаем 1667. Делим это число на 2:

1667: 2 = 833,5

Приписываем 833 к 7,4 справа, получая ответ: 7,4833. Все цифры данного ответа соответствуют точному значению квадратного корня из 56.

Вообще, всякий раз повторяя данный процесс, мы удваиваем количество точных цифр в ответе.

Разберем еще один пример.

Одним из упражнений на вычисления в уме в этой главе была задача на извлечение квадратного корня из 500. Продолжим вычислять в уме, но попробуем при этом увеличить точность ответа.

Ранее мы посчитали, что:

√500 = 22,5

Вместо того чтобы делить 500 на 20, теперь будем делить его на 22,5. Трудно ли это? Нет, если мы сначала дважды удвоим оба наших числа.

Удвоение 500 и 22,5 дает 1000 и 45. Повторное удвоение дает 2000 и 90.

Делим 2000 на 90, чтобы получить более точное приближение искомого корня. Чтобы разделить 2000 на 90, делим сначала на 10, а потом на 9.

2000: 10 = 200

200: 9 = 22,22

Теперь найдем среднее для 22,22 и 22,5.

22 перед десятичной запятой, очевидно, останется без изменения. Чтобы узнать, что будет с цифрами после запятой, найдем среднее для 50 и 22.

22 + 50 = 72

72: 2 = 36

Прибавим 0,36 к 22 и получим ответ, в котором все цифры соответствуют цифрам в точном значении корня.

22 + 0,36 = 22,36 ОТВЕТ

После некоторой практики все рассмотренные вычисления могут выполняться в уме. Так что тренируйтесь!

Глава 18

Вычисление квадратного корня

Существует простой способ вычисления точного значения квадратного корня из числа. Речь идет о процессе, который я называю перекрестным умножением.

Вот как он работает.

Перекрестное умножение

Чтобы выполнить перекрестное умножение однозначного числа, вы просто возводите его в квадрат:

32 = 3 х 3 = 9

Если же у числа две цифры, тогда вы перемножаете их между собой и удваиваете результат.

34 = 3 х 4 = 12

12 х 2 = 24

В случае трехзначного числа следует перемножить первую и третью цифры, удвоить результат, а затем прибавить к этому квадрат средней цифры. Например, выполнить перекрестное умножение числа 345 — это значит:

3 х 5 = 15

15 х 2 = 30

30 + 42 = 46

Общее правило перекрестного умножения числа с четным количеством цифр:

Умножьте первую цифру на последнюю, вторую — на предпоследнюю, третью — на цифру перед предпоследней и т. д., пока все цифры не будут перемножены. Затем сложите все полученные произведения и удвойте результат.

На практике вы складываете произведения одно за другим, а потом удваиваете полученную сумму.

Общее правило перекрестного умножения числа с нечетным количеством цифр:

Умножьте первую цифру на последнюю, вторую — на предпоследнюю, третью — на цифру перед предпоследней и т. д., пока не дойдете до средней цифры. Сложите все полученные произведения и удвойте результат. Прибавьте к нему квадрат средней цифры.

Следующие примеры служат иллюстрацией этого:

123 = 1 х 3 = 3, 3 х 2 = 6, 6 + 22 (4) = 10

1234 = 1 х 4 (4), + 2 х 3 (6) = 10, 10 х 2 = 20

12345 = 1 х 5 (5), +2 х 4 (8) = 13, 13 х 2 = 26, 26 + 32 (9) = 35

Использование перекрестного умножения для извлечения квадратного корня

Метод извлечения квадратного корня состоит в следующем.

Например:

√2809 =

Прежде всего разобьем цифры попарно. Каждой паре цифр будет соответствовать одна цифра в ответе.

Таким образом, квадратный корень будет иметь две цифры (в целой своей части, разумеется).

Во-вторых, оценим величину квадратного корня из числа, образованного из цифр первой пары. Квадратный корень из 28 приближаем числом 5 (5 х 5 = 25). Таким образом, 5 — это первая цифра ответа.

Удвоим первую цифру ответа (2 х 5 = 10) и запишем результат слева от числа. Данное число будет нашим делителем. Запишем 5 — первую цифру ответа — над цифрой 8 в первой паре цифр (28).

Записанное нами выглядит так:

На этом мы закончили работу над первой цифрой ответа.

Чтобы найти вторую цифру, возведем в квадрат первую цифру нашего ответа и вычтем результат из первой пары цифр исходного числа.

52 = 25

28 – 25 = 3

Число 3 — это наш остаток. Переносим остаток 3 к следующей цифре числа, из которого извлекаем корень. Это дает нам новое рабочее число 30.

Разделим наше рабочее число (30) на делитель (10). Получаем 3 — следующую цифру ответа. 30 делится на 10 без остатка, поэтому переносить нечего. 9 — новое рабочее число.

Наше решение теперь выглядит так:

И наконец, выполним перекрестное умножение с последней цифрой ответа.

32 = 9

Вычтем результат из нашего рабочего числа:

9 – 9 = 0

Остатка нет: 2809 является точным квадратом. Его квадратный корень равен 53.

10 √2809 = 53

Рассмотрим другой