Полностью решенная задача выглядит следующим образом:

Каждый раз, выполняя деление, вам необходимо помнить о том, что переносимый остаток должен давать результат, превышающий число, получаемое в итоге перекрестного умножения. Кроме того, 9 является самым большим значением, которое можно использовать в качестве остатка, даже если в результате деления выходит 10 или 11. Если деление не дает остатка, а у вас в ответе уже имеются цифры, с которыми можно выполнить перекрестное умножение, необходимо уменьшить результат, по крайней мере, на 1.

Я обычно использую первый метод для вычисления приближенного значения квадратного корня; но если мне нужен точный ответ, я применяю способ, рассмотренный в настоящей главе. Чем больше числа, с которыми вы имеете дело, тем труднее будут вычисления, поскольку приходится выполнять перекрестное умножение с большим количеством цифр. К тому же метод приближенного вычисления квадратного корня проще сам по себе.

Давайте сравним оба метода в процессе нахождения квадратного корня из 196. Сначала методом оценки:

Разделим число на пары цифр. Их две, поэтому в ответе будут две цифры.

Находим приближение для квадратного корня из числа, составленного из цифр первой пары (1).

Квадратный корень из 1 равен 1. Первая цифра ответа — 1.

Второй цифрой будет, как обычно, 0. Первое приближение, таким образом, равняется 10.

196: 10 = 19,6

Округляем в сторону уменьшения и находим среднее. Округляем до 19. Разница равна 9 (19–10 = 9). Половина от 9 равна 4,5. Прибавляем 4,5 к 10 и получаем ответ: 14,5.

Чтобы повысить точность, можно использовать 15 в качестве второй оценки.

Делим 196 на 15. Простой способ сделать это состоит в том, чтобы удвоить оба числа (196 = 200 — 4, удвоив 200 — 4, получаем 400 — 8). Теперь мы имеем 392: 30. Чтобы разделить 392 на 30, делим сначала на 10, а затем на 3.

392: 10 = 39,2

39,2: 3 = 13,06

Округляем в сторону уменьшения до 13.

Разделим разницу между 13 и 15. Половина от 2 равна 1. Отнимаем это от нашей исходной округленной оценки (15 — 1 = 14). Ответом является 14 — точный корень из 196.

Как работал бы наш метод с перекрестным умножением в случае извлечения корня из 196?

√196 =

Разобьем число на пары цифр:

Оцениваем значение квадратного корня из числа, составленного из цифр первой пары (1). Квадратный корень из 1 равен 1. Это первая цифра ответа. Удваиваем ее и получаем делитель. 2 на 1–2.

Делим следующую цифру числа (9) на делитель.

9: 2 = 4 с остатком 1

Записываем 4 в качестве второй цифры ответа и переносим остаток к следующей цифре (6), получая в итоге 16.

Выполняем перекрестное умножение (возводим в квадрат) для цифры 4 в ответе (первую цифру, как требует метод, мы не трогаем) и отнимаем результат из нашего рабочего числа 16. 4 в квадрате дает 16, вычитаем его из 16 и получаем 0. Таким образом, 196 — точный квадрат (числа 14).

В данном конкретном случае метод, представленный в настоящей главе, применять легче, чем метод оценки значения из предыдущей главы. Таким образом, у вас теперь есть выбор.

Глава 19

Способы быстрых вычислений

Много книг написано о том, как быстрее вычислять, используя различные приемы и свойства чисел. Такие способы не только экономят время и силы, но также помогают развивать математические способности. В этой главе я расскажу вам о некоторых способах, применение которых делает вычисления более быстрыми и занимательными.

Умножение на 11

Чтобы умножить двузначное число на 11, необходимо просто сложить цифры и вставить результат посредине.

Например, чтобы перемножить 23 на 11, сложим 2 и 3, что равняется 5, и вставим 5 между 2 и 3. Ответом будет 253.

Чтобы умножить 14 на 11, сложим 1 и 4, получая 5, и вставим 5 между 1 и 4. Ответ: 154.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 63 х 11 = __; б) 52 х 11 = __; в) 34 х 11 = __; г) 26 х 11 = __; д) 71 х 11 = __; е) 30 х 11 = __

Ответы:

а) 693; б) 572; в) 374; г) 286; д) 781; е) 330

В приведенных примерах две цифры дают в сумме число, меньшее или равное 9. Что делать, когда сумма двух цифр больше 9? Когда результатом сложения цифр при умножении на 11 является двузначное число, следует вставить цифру единиц между цифрами исходного числа и прибавить цифру десятков (1) к первой цифре числа.

Например, чтобы умножить 28 на 11, прибавим 2 к 8 и получим 10. Вставим 0 между 2 и 8, получая 208, и прибавим 1 к первой цифре (2), что даст нам ответ: 308.

Попробуем еще раз на примере 88 х 11:

8 + 8 = 16

Вставляем 6 между 8 и 8, что даст нам 868, затем прибавляем 1 к первой 8, получая окончательный ответ: 968.

«Скажи, сколько будет…»

Когда детям предлагают решить подобные задачи (и приучают их к самостоятельному вычислению), это помогает развитию у них базовых математических навыков. Викторины вроде «Скажи, сколько будет…» популярны среди детей всех возрастов.

Если бы кто-нибудь попросил вас умножить 77 на 11, вы немедленно увидели бы: 7 плюс 7 дает 14, что больше 9. Вы сразу же прибавили бы 1 к 7 и сказали: «Восемьсот.» Следующей цифрой ответа будет 4 от 14, за которой следует 7, так что вы продолжили бы почти без паузы: «Сорок. семь». Попробуйте сами. Это гораздо легче, чем кажется.

Рассмотрим другой пример: если бы вам надо было умножить 84 на 11, вы мгновенно оценили бы, что 8 плюс 4 больше 9, поэтому следует прибавить 1 к 8: «Девятьсот.» Затем вы сложили бы 8 и 4, что дает 12, так что средней цифрой является 2. Поэтому вы продолжили бы: «.двадцать». Последней цифрой будет 4: «.четыре». Полностью ваш ответ прозвучал бы так: «Девятьсот двадцать четыре».

А как насчет 96 на 11?

9 плюс 6 равно 15. Прибавим 1 к 9 и получим 10. Работаем с числом 10, будто оно однозначное: 10 — первая часть